6. Поле. Підполе. Приклади. Основні властивості полів. Поле дійсних чисел.

Озн.1. Мн-на Р, яка містить хоча б два різн. ел-ти, в якій введ.і дві бінарні операції “дод.” і “множ.” і вик-ся вимоги:

1) ( а, b)(а+b=b+а); 4) ( а, b, с)((а+b)+с=а+(b+с)); 5)(  а, b) (існує х є Р)(а+х=b); 6) ( а, b)(а·b=b·а);

7)( а, b, с)((а·b)·с=(а·(b·с)); 8)( а, b, с)(а·(b+с)=а·b+а·с);

9) ( а)( b)(існує х є Р) (а·х=b). наз. полем.

Озн. 2. Підмножина Р₁ поля Р називається підполем поля Р, якщо вона сама є полем відносно тих самих операцій “додавання” і “множення” поля Р.

Прикл.1)..Множини Q, R, C відносно операцій додавання і множення утворюють поля. 2)Множина чисел виду а+b , а,bQ відносно операцій додавання і множення утворює поле. 3).Поле Q, R є підполем поля С. 4)Поле Q є підполем поля R. 5)Множина матриць виду , а,bQ відносно операції додавання і множення матриць утворює поле.

З означення поля випливають такі основні властивості:

1) У кожному полі існує і притому єдиний нульовий елемент.

Дов. Нехай аР. Згідно вимоги 3 поля, рівняння а+n=а має розв’язок n. Якщо b – будь-який інший елемент поля Р, то рівняння а+n=b також має розв’язок m. Тоді b+n=(a+m)+n=(m+a)+n=m+(a+n)=m+a=a+m=b. Тобто, b+n=n+b=b.

Доведемо, що нульовий елемент єдиний методом від супротивного, використовуючи модифікацію АВ  А В

Нехай ₁ і ₂ різні нульові елементи. Тоді ₁ + ₂=₁, якщо вважати ₂ за нульовий елемент ₁ + ₂=₂, якщо вважати ₁ за нульовий елемент . З цих двох співвідношень випливає, що ₁=₂.

Озн. 3. Елемент е поля Р називається одиничним, якщо ( а)(а·е=е·а=а).

2) У кожному полі існує і притому єдиний одиничний ел-т. Дов. власт. 2 анал. дов. власт.і 1.

3) Кожний елемент аР має і притому єдиний протилежний елемент –а.

Дов. Згідно з вимогою 3 поля Р рівняння а+х= має розв’язок хР, який і буде протилежним елементом до а. Єдиність доведемо методом від супротивного, використовуючи ту ж саму модифікацію, що і у доведенні властивості 1. Нехай у, х різні протилежні елементи до елемента а. Тоді

х=х+=х+(а+у)=(х+а)у=+у=у, що і треба було довести

4) Кожний елемент а поля Р має єдиний обернений елемент а. Доведення аналогічне доведенню властивості 3.

5) Поле Р не має дільників нуля.

Доведення. Нехай а, але а·b=. Оскільки а, то існує єдиний обернений елемент а^-1. Помножимо рівність а·b= на а^-1. Отримаємо в=. Тобто, якщо добуток елементів дорівнює нульовому елементу, то принаймні один з множників відмінний від .

Серед інших властивостей відмітимо:

1. Якщо а+b=а+с, то b=с

Означення 4. Різницею b-а елементів b та а називається такий елемент хР, для якого виконується рівність а+х=b.

Таким чином, 1) а+(b-а)=(b-а)+b.а-а=0, 0-а=-а.

2) ( а,b)(а-b=а+(-b)); 3) ( а, b, с)((а-b)·с=а·с-b·с)

Означення 5. Множина П, яка містить принаймні два різних елементи, в якій визначена властивість елементів “бути додатними” (0) і визначені дві бінарні операції “додавання”(+) та “множення” (·) і виконуються вимоги:

1) ( а,b)(а+b=b+а); 2) ( а,b,с)((а+b)+с=а+(b+с));

3) ( а,b)(існ.х)(а+х=b); 4) ( а,b)(а·b=b·а);

5) ( а,b,с)((а·b)·с=а·(b·с)); 6) ( а,b,с)((а·(b+с)=а·b+а·с);

7) а)(b)(х)(а·х=b); 8) Для кожного елемента аП виконується одне і тільки одне з співвідношень: а=  а0  -а0; 9) ( а,b)(аbа+bа·b)

Вважатимемо, що аb  а-b;

10) Аксіома Архімеда ( а)( b)(існ. n є N)(n·bа)

11) Аксіома повноти. Будь-яка фундаментальна послідовність {a_n} елементів з П має границю в П називається полем дійсних чисел, а самі елементи поля П – дійсними числами.

Озн. 6. Посл. {a_n} ел-тів поля П наз. фундаментальною, якщо для будь-якого елемента  із П існує таке натуральне число n_a (залежне від а), що a_p - a_q< для всіх р, q більших від n_a.

Озн.7. Поле називається розташованим, якщо виконуються аксіоми 8, 9.

Озн. 8. Розташ. поле в якому викон. аксіома Архімеда наз. архімедовим розташованим полем.

Озн.9. Розташ. поле наз. повним, якщо кожна фундаментальна посл. є збіжною в цьому полі.

Якщо врахувати наведені вище означення, то означити поле дійсних чисел можна так.

Озн. 10. Повне розташ. архім. поле, яке містить у собі підп. рац. чисел Q наз. п-ем дійсн. чис.