13. Теорема Крамера.

Теорема КРАМЕРА: Якщо визначник основної матриці не дорівнює 0, то система рівнянь має єдиний розв’язок, який знаходиться за формулами

Доведення: Розглянемо систему алгебраїчних рівнянь, яка містить n рівнянь і n невідомих.

1) Помножимо перше рівняння системи на А₁₁, друге – на А₂₁, n- рівняння системи на А_n1; додаємо перемножені ліві та праві частини, та виносимо ліві частини. Будемо мати:

Вирази в інших (n-1) дорівнюють 0, згідно властивості 13

2) Помножимо перше рівняння на А₁₂, друге – на А₂₂, ....., n- рівняння –на А_n2, додамо почастинно, виконуючи перетворення аналогічні до першого кроку, отримаємо:

3) І так далі, на n кроці перше рівняння домножимо на А_1n, друге рівняння - наА_2n, ...., n- рівняння – на Аnn, і виконуючи аналогічні перетворення отримаємо

При доведенні ми не накладали умов відміності від 0 алгебраїчних доповнень, а значить потрібно переконатися, так одержанні значення є розв’язками системи рівнянь, тобто при їх підстановці замість невідомих кожне з рівнянь перетворюють в істинну числову рівність.

Доведемо наприклад для 1-ого рівняння:

- розкладається за елементами першого стовпця; - розкладається за елементами другого стовпця; і так далі, - за елементами n –ого стовпця.

Згідно властивості 13 вираз в дужках дорівнює , якщо і=1, і дорівнює 0 для всіх інших значень і.

Аналогічно перевіряємо інші n-1 рівняння.

Наслідки: 1) розглянемо відповідно однорідну алгебраїчну систему рівнянь, тоді Т. Крамера: якщо визначник основної матриці однорідної системи рівнянь відмінний від 0, то система рівнянь має єдиний розв’язок. Теорема: якщо визначник основної матриці однорідної системи рівнянь дорівнює 0, то система рівнянь має безліч розв’язків.

14. Фундаментальна система розв’язків системи лінійних однорідних рівнянь. Теорема про існування фундаментальної системи розв’язків.

Теорема про фундаментальну систему розв’язків: якщо ранг основної матриці однорідної системи рівнянь (1) дорівнює r ,і r – менше кількості невідомих n, то існує фундаментальна система розв’язків і їх кількість дорівнює n-r.

Доведення: Згідно теореми Гауса при виконанні теореми, однорідна система рівнянь (1) має безліч розв’язків і сукупність всіх розв’язків системи рівнянь (1) записується так:

(2)

Виберемо з даної сукупності розв’язків n-r розв. По правилу, одна з незалежних змінних дорівнює 1, а всі інші незалежні змінні дорівнюють 0.

Доведемо, що ці вектори є лінійно-незалежні і кожний інший розв’язок є їх лінійною комбінацією. Складемо матрицю з компонентів векторів і еквівалентними перетвореннями зведемо її до діагонального виду. Одним з еквівалентних перетворень є заміна місцями стовпців, поміняємо місцями 1-ий стовпець з r+1; 2-ий – з r+2; n-r - з r. Отримаємо матрицю по головній діагоналі будуть стояти 1, а нижче діагоналі 0. Таким чином ці вектори є лінійно незалежними. Тепер покажемо, що кожен розв’язок можна представити у вигляді лінійної комбінації векторів . У векторі компоненти зв’язані між собою співвідношенням (2) :