30. Будова простого розширення числового поля. Звільнення від ірраціональності в знаменнику дробу.

1.1. Нехай дано довільну числову множину . Очевидно, завжди знайдуться числові поля, які містять всі числа множини , наприклад, поле комплексних чисел.

Мінімальним полем , що містить дану числову множину , наз. поле, яке є перетином усіх числових полів, що містять множину .

Зрозуміло, що для будь-якої числової множини мінімальне поле завжди існує і є підполем довільного іншого поля, яке містить множину .

Нехай – деяке числове поле, і – число, яке належить цьому полю . Розглянемо мінімальне поле , яке містить і . Очевидно, є розширенням поля , яке містить , міститиме і за означенням мінімального поля.

Відомо, що мінімальне розширення поля , яка містить число наз. розширенням поля утворенням приєднанням числа , і позначають . Аналогічно можна розглядати розширення утворене приєднанням кількох чисел до поля , тобто мінімальне поле , яке містить як , так і числа .

Розширення, утворені приєднанням одного числа, наз. простим.

Приклад. ( , – рац.) просте розширення над полем рац. чисел утворена приєднанням .

1.2. Дано дріб , , – многочлена над полем , а – іррац. Корінь незвідного многочлена , .

Треба представити, що , тому .

Нехай тепер та – многочлени над , такі, що (1).

Тоді і (2).

Дії, що треба виконати:

1. Замінити , де – остача від ділення на ;

2. Знайти многочлени та , що задовольняють рівність (1);

3. Обчислити і подати дріб за (2).

12