- •1. Бінарні відношення. Рефлексивні, симетричні, транзитивні бінарні відношення. Розбиття на класи. Фактор-множина.
- •2. Натуральні числа (аксіоми Пеано). Принцип математичної індукції.
- •3.Групи. Приклади груп. Основні властивості груп.
- •4. Підгрупи. Означення та критерій. Ізоморфізм та гомоморфізм груп, властивості.
- •5.Кільце. Підкільце. Приклади кілець. Найпростіші власт. Кілець. Ізоморфізми та гомоморфізми к-ць.
- •6. Поле. Підполе. Приклади. Основні властивості полів. Поле дійсних чисел.
- •7.Поле комплексних чисел. Алгебраїчна та тригонометрична форма.
- •8. Системи лінійних рівнянь. Основні означення. Розв’язування систем лінійних рівнянь методом послідовного виключення невідомих.
- •9. Арифметичний n-вимірний векторний простір. Лінійна залежність і лін. Незал. Множини векторів. Ранг і базис скінченної множини векторів.
- •11. Означення та основні властивості визначників. Необхідна і достатня умова рівності визначника нулеві.
- •12. Знаходження оберненої матриці за допомогою елементарних перетворень та за допомогою алгебраїчних доповнень. Розв’язування матричним способом системи лінійних рівнянь.
- •13. Теорема Крамера.
- •14. Фундаментальна система розв’язків системи лінійних однорідних рівнянь. Теорема про існування фундаментальної системи розв’язків.
- •16.Базис і розмірність скінченно вимірного векторного простору. Ізоморфізм векторних просторів.
- •17. Лінійні оператори. Власні значення та власні вектори лінійного оператора.(немаєпро лінійні оператори).
- •18. Теорема про зв’язок характеристичних коренів та власних значень лінійного оператора. Зведення матриці до діагонального виду.
- •19.Теорема про ділення з остачею в кільці цілих чисел. Нсд і нск двох чисел і зв’язок між ними. Алгоритм Евкліда.
- •20. Прості числа. Нескінченність множини простих чисел. Основна теорема арифметики. Застосування канонічного розкладу чисел до знаходження нсд і нск.
- •22. Лінійні порівняння з однією змінною. Теорема про число розв’язків. Метод розв’язування лінійних порівнянь.
- •23.Застосування теорії порівнянь до виведення ознак подібності.
- •25. Многочлени над полем. Теорема про ділення з остачею. Нсд двох многочленів. Алгоритм Евкліда.
- •26. Факторіальні кільця. Факторіальність кільця многочленів над полем.
- •27. Алгебраїчна замкненість поля комплексних чисел. Канонічний розклад многочленна над полем комплексних чисел та його єдиність.
- •28. Многочлени з дійсними коефіцієнтами. Спряженість уявних коренів таких многочленів. Незвідні над полем дійсних чисел многочлени та канонічний розклад многочленів над полем дійсних чисел.
- •30. Будова простого розширення числового поля. Звільнення від ірраціональності в знаменнику дробу.
17. Лінійні оператори. Власні значення та власні вектори лінійного оператора.(немаєпро лінійні оператори).
Означення Ненульовий вектор u простору V називається власним вектором лінійного оператора А, якщо Аu = и для деякого елемента . Елемент при цьому називається власним значенням оператора А, що відповідає власному вектору u. Говорять також, що власний вектор u належить власному значенню .
Якщо u - власний вектор лінійного оператора А, то існує єдиний елемент такий, що Аu= . Справді, якщо , то . Далі, якщо u – власний вектор оператора А, що належить власному значенню , то для довільного ненульового елемента з поля Р вектор теж є власним вектором оператора А, який належить тому самому власному значенню . Справді
. Отже, кожний власний вектор оператора А породжує в просторі V одновимірний інваріантний підпростір, всі ненульові вектори якого є власними векторами оператора А, що належать одному і тому ж власному значенню. Таким чином, задача знаходження інваріантних відносно оператора А одновимірних підпросторів простору V рівносильна відшуканню власних векторів оператора А
Теорема . Власні вектори лінійного оператора А, які належать попарно різним власним значенням , утворюють лінійно незалежну систему.
З теореми випливає, що коли лінійний оператор А n-вимірного векторного простору V має n попарно різних власних значень, то власні вектори оператора А, що належать цим власним значенням, взяті по одному для кожного значення, утворюють базис простору V. У базисі, складеному з власних векторів оператора А, матриця оператора А має надзвичайно простий вигляд, а саме, вона є діагональною, причому її діагональними елементами є власні значення, яким належать базисні вектори. Справді, якщо базисні вектори є власними векторами оператора А, що належать власним значенням відповідно, то , ,… тому матриця оператора А в базисі є діагональною матрицею: A= (по діагоналі ).
Теорема. Діагональна матриця А =
Є матрицею лінійного оператора А в деякому базисі векторного простору V тоді і тільки тоді, коли базисні вектори є власними векторами оператора А, що належать власним значенням .
Нехай А - лінійний оператор векторного простору V і А = ( ) - його матриця в деякому базисі е = { } простору V. Якщо u -власний вектор оператора А, що належить власному значенню , і ( ) - його координатний рядок в базисі е, тобто u = x1e1+...+xnen, то
. Розписавши цю матричну рівність покомпонентно, отримаємо систему лінійних рівнянь відносно змінних :
18. Теорема про зв’язок характеристичних коренів та власних значень лінійного оператора. Зведення матриці до діагонального виду.
Нехай А - лінійний оператор векторного простору V і А = ( ) його матриця в деякому базисі е = {е ,...,е } простору V. Якщо u -власний вектор оператора А, що належить власному значенню , і (х1,...,хn) - його координатний рядок в базисі є, тобто u = x1e1+...+xnen, то Au = [u]А = (х1,...,хп)А = =( ,..., ). Розписавши цю матричну рівність покомпонентно, отримаємо систему лінійних рівнянь відносно змінних ,..., :
Якщо вектор u є власним вектором лінійного оператора А, що належить власному значенню , то координатний рядок (х1,...,хn) цього вектора в базисі є простору V є ненульовим розв'язком системи:
Многочлен |А- | називається характеристичним многочленом оператора А в базисі є, а також характеристичним многочленом відповідної матриці А. Матриця А - називається характеристичною матрицею матриці А. Отже, коли деякий елемент Х0 є Р є коренем характеристичного многочлена оператора А в деякому базисі є простору V, тобто якщо
|А- |=0, де А - матриця оператора А в базисі є, то є власним значенням оператора А, і навпаки, якщо - власне значення оператора А, то є одним з коренів характеристичного многочлена оператора А в деякому базисі є. Цей результат можна сформулювати у вигляді теореми.
Теорема . Для того, щоб елемент є Р був власним значенням лінійного оператора А векторного простору V над полем Р, необхідно і достатньо, щоб елемент був коренем характеристичного многочлена |А - | оператора А в деякому базисі є простору V.
Теорема . Характеристичний многочлен лінійного оператора А векторного простору V не залежить від вибору базису в просторі V.
Теорема . Елемент є Р є власним значенням матриці А (і відповідного лінійного оператора А) тоді і тільки тоді, коли є коренем характеристичного рівняння А - = 0 матриці А.
Таким чином, задача відшукання власних векторів лінійного оператора А векторного простору V над полем Р зводиться до знаходження в полі Р коренів характеристичного многочлена оператора А. Як відомо, в полі С комплексних чисел будь-який многочлен ненульового степеня з комплексними коефіцієнтами має комплексні корені. Тому кожний лінійний оператор векторного простору V над полем С має власні вектори, а отже, в просторі V існує хоча б один одновимірний підпростір, інваріантний відносно оператора V.
У випадку, коли розглядається дійсний векторний простір, характеристичне рівнянн |А - | =0 oператора А може не мати жодного кореня в полі R дійсних чисел. У цьому випадку лінійний оператор А не має власних векторів. Наприклад, характеристичне рівняння оператора А повороту на кут проти годинникової стрілки навколо початку прямокутної декартової системи координат у дійсному просторі W2 геометричних векторів площини має вигляд:
|А - Е|= .Якщо , де , то це рівняння не має дійсних коренів, оскільки дискримінант D квадратного тричлена від'ємний: D = 4(cos2 -1)<0. Отже, в дійсному векторному просторі не для кожного лінійного оператора існує одновимірний інваріантний підпростір. Однак, в цьому випадку справджується така теорема.
Теорема 14. Для будь-якого лінійного оператора дійсного векторного простору існує одно- або двовимірний інваріантний підпростір.
Якщо у векторному просторі V над полем Р існує базис, складений із власних векторів оператора А, то матриця оператора А в цьому базисі має діагональний вигляд. Говорять, що матриця А зводиться до діагонального вигляду, якщо вона подібна деякій діагональній матриці.
Лінійний оператор А n-вимірного векторного простору V над полем Р називається оператором із простим спектром, якщо він має п різних власних значень, тобто якщо його характеристичний многочлен |А- | має п різних коренів в полі Р. Множина власних значень в цьому випадку називається спектром оператора А.
Теорема . Якщо А - матриця оператора з простим спектром, то вона зводиться до діагонального вигляду.
Необхідну і достатню умову звідності матриці до діагонального вигляду дає теорема:
Теорема . Матрицю А можна звести до діагонального вигляду тоді і тільки тоді, коли А є матрицею лінійного оператора А векторного простору V, в якому існує базис, утворений з власних векторів оператора А.
Теорема . Матриця А n-го порядку над полем Р зводиться до діагонального вигляду тоді і тільки тоді, коли всі корені її характеристичного рівняння лежать у полі Р і для кожного кореня кратності ранг , матриці A- E допівнює n - .