20. Прості числа. Нескінченність множини простих чисел. Основна теорема арифметики. Застосування канонічного розкладу чисел до знаходження нсд і нск.
Означення: натур. число а назив простим, якщо воно має тільки дільники самого себе і 1.
З озн. виплив. що 1 не є простим числом, а також, що 2 – єдине парне число.
Т. кожне натур. m або ділиться націло на просте р або взаємопросте з числом р.
( два числа a ,b назив. взаємопростими, якщо їх НСД = 1).
числа a1 , a2, a3 ………., an назив попарно простими, якщо б – я два числа із них взаємно прості.
Дов.
Розг. НСД (m , р). так як р просте число, то воно має лише два дільники – 1 або р. отже і найб.спіл. дільн. Чисел m, р буде 1 або р.
Т.
найм. простий дільник натур. числа а>1
не перевищує
.
Дов.
a=p*q, p>q
ap > p*q2
a ≥ q2
q≤ .
на практиці дана тоер. викор і для розкладу чисел на множ. і визнач. Того чи буде дане число простим.
Для цього випис всі прості чис. Від 2 до , перевіряємо чи будуть ці чис. дільн.чис.а. Якщо жодне з цих не є дільником чис. а то воно просте.
Т. множина простих чисел нескінченна.
Дов.
Методом від супротивного. Припустимо, що множ.простих чис. скінченна. Вона містить р={р1, р2 …… рn }.
Побуд.число а = р1* р2* …… *рn+1.
або число а є просте, тоді ми отрим.суперечність з припущеним.
або число а складне, тобто його дільниками є не тільки «1» або «а», але й інші числа. Якщо а – складне, то воно обов‘язково ділиться на одне із простих чисел р1, р2 …… рn.
ліва частина ділиться на одне з цих чисел, перший доданок кр. числа ділиться на одне з цих чисел, а отже і 1 ділит. На одне із цих чисел, а це суперечність.
Впродовж всього р-ку матем., мат всіх країн намагалися встановити ф-лу,яка би вичерпувалв собою множ простих чисел.
До цих пір не встановлена така формула, хоча відома наприкл ф-ла Ейлера, яка при N=1,…..42 дає прості числа, а для інших значень складені.
Основна теорема арифметики:
Кожне натур.число N≥2 можна розкласти в добуток простих множників і цей розклад єдиний з точністю до порядку запису співмножників.
Дов.
Дов спочатку можл.розкладу ММІ
n=2 , 2=2
n=k
n=k+1
Якщо k+1 просте чис.,то k+1= k+1
Якщо k+1 складене, то k+1= k1 *k2
k1 <k2
k2 ≤k
згідно п.2 б-я всяке чис. яке ≤k можна представити у вигляді добутку простих монж. Ми довели можл представ. > 2 у виді добутку простих чисел.
Дов єдиність від супротивного. Припустимо, що а можна представити двома різними способами:
а = р1* р2* …… *рr.
а = q1* q2* …… *qr,
причому . р1* р2* …… *рr. , q1* q2* …… *qr, прості числа
r<S, тоді р1* р2* …… *рr = q1* q2* …… *qr,
ліва частина ділиться на р1, тоді і права частина ділиться на р. так як справа є добуток простих чис. то цей доб. Ділиться націло на р1 , коли одне із , q1* q2* …… *qr ділиться націло на q1, тобто = р1
не обмежуючи загальності вваж. ,що q1= р1
р2* р3* …… *рr. = , q2* q3* …… *qs, р2 = q2
р3* …… *рr = q3* …… *qs
1 = qr+1 ….. qs
qr+1 = 1
qs =1
отримали суперечність з припущеним.
Згідно основн. теор .арифм., кожне чис.a>1 можна єдиним чином представити у виді (1)
а = р1* …… *рr.
у представлені (1) деякі множин можуть повторюватися,тоді прир. Їх об‘єднати , як степінь простих чисел
а = p1k 1* p2k2 * ….. psks (2)
Означ. Представлення натур.числа а у виді (2) назив канонічним розкладом натур.числа.
Очевидно якщо (2) конон.розклад натур.чис., то кожний дільник матиме вид:
d = p1£1 * p2£2 * ….. ps£s
0≤£1 ≤ k1
…………….
0≤£s≤ ks
Якщо ми маємо два натур чис
а = p1k1 * p2k2 * ….. psks
b = q1k * q2k * ….. qlkl
то мають місце співвідношення :
d1 = q1ß1 * q2ß2 * ….. qlßl
0≤ß1 ≤ r1
…………….
0≤ ßl≤ rs/
НСД(a,b) – це добуток спільних множників в канон. розклад (r) (r`) в найм степенях.
НСК(a,b) - це добуток спільних множників в канон. розклад (r) (r`) в найб степенях.
21. Порівняння їх основні властивості. Повна та зведена система лишків. Т.Ейлера та Ферма.
Натуральне
число m>1 будемо називати модулем. Озн.
Два цілі числа а,b порівнюються між собою
якщо при діленні на n вони дають одну і
ту ж саму остачу. З означення порівнянь
випливають основні властивості:1)
тоді
і тільки тоді, коли
-
просте число. Т:2.
.
Властивості:1.Два порівняння за одним і тим же модулем можна почастинно додати.
2.Наслідок.
3.Порівняння за одним і тим самим mod можна почастинно віднімати.
Доведення:
4.До обох частин порівняння можна додати одне й те ж саме додатнє число с.
5.З однієї частини порівняння можна переносити в другу частину порівняння з протилежним знаком.
6.До будь-якої частини рівняння можна додати кратне модуля.
7.Два порівняння можна почастинно перемножити.
8.Обидві частини порівняння і (modm) можна домножити на одне і те ж саме натуральне число к.
9.Якщо к спільний дільник чисел a,b,(modm) то обидві частини і mod можна поділити на дане число к.
Озн: Якщо з кожного класу лишків взяти по одному представнику, то одержана множина лишків називається повною системою лишків(ПСЛ). Числа класів називаються лишками. ПСННЛ={0,1,2,3,4,5,6}
Властивість:
Теорема про ПСЛ: Якщо a,m взаємно прості
НСД(a,m)=1 і b будь-яке ціле число,то якщо
х пробігає ПСЛ, то ах+b також пробігає
ПСЛ. Доведення: Нехай
є
ПСЛ за
тоді
покажемо,
що ця множина чисел утворює повну систему
лишків. Ця система містить m чисел:
покажемо що числа цієї множини не
порівнюються між собою за (modm).Припустимо
від супротивного:
так
як а взаємо прості то
а
це суперечить умові теореми.А значить
наше припущення вірне.Множина лишків,які
належать різним класам і які взаємо
прості з (modm)називають зведеною системою
лишків(ЗСЛ).Як правило ЗСЛ ємножина
найменших невід’ємних лишків.Очевидно,що
ЗСЛ за (modm)містить
-лишків,
-функйія
Ейлера.
Якщо a,m прості і х пробігає ЗСЛ,то і ах також пробігає ЗСЛ.НСД(a,m)=1.
Покажемо,
що ці числа не порівнюються між собою
за (modm).Припустимо, що
Це суперечить означенню ЗСЛ.
Теорема
Ейлера:Якщо
am взаємно прості.
.
Доведення:
Розглянути ЗСЛ(modm)={
}тоді
згідно теореми про ЗСЛ множина
також
буде зведеною системою лишків.
.
Очевидно, що лишок
з
одним із лишків
.
Тоді
.Очевидно,
що лишки
попарно
прості. А значить обидві частини
останнього порівняння можна скоротити.
.
Теорема Ферма:є частковим випадком теореми Ейлера,якщо m просте число;m=p;φ(p)=p-1.
.