12. Загальне рівняння лінії другого порядку і її зведення до канонічного вигляду. Класифікація ліній другого порядку на евклідовій площині.

Розглянемо на евклідовій площині загальне рівняння лінії 2-го порядку.

. (1)

В рівнянні (1) перейдемо до однорідних афінних координат: ; .

що означає перехід від евклідової до проективної площини.

. (2)

Лінією другого порядку на проективній площині наз. множина точок проективної площини, координати яких задовольняють однорідне рівняння другого порядку відносно змінних , , .

Рівняння (2) наз. загальним рівняння 2-го порядку .

Для того, щоб вивчити властивості лінії 2-го порядку потрібно рівняння (2) звести до канонічного вигляду. Для цього використовують проективне перетворення (метод Лагранжа), суть якого полягає у виділенні повних квадратів змінних з послідовним введенням нових змінних.

Припустимо, що використавши метод Лагранжа, нам вдалося звести (2) до канонічного вигляду:

. (3)

Дослідимо (3). Можливі наступні результати:

1. Якщо ; ; маємо рівняння – на проективній площині не існує точок, координати яких задовольняють дане рівняння, тому лінію наз. уявною. Рівняння не розкладається на множники, тому лінію наз. не розпадною.

2. Якщо ; ; маємо – дійсна не розпадна лінія 2-го порядку. На проективній площині існують точки, координати яких задовольняють дане рівняння, тому лінію наз. дійсною, але рівняння не можна розкласти на лінійні множники, тому лінія наз. не розпадною.

3. Якщо ; ; маємо – уявна розпадна. На проективній площині не існує точок, які задовольняють рівняння – лінія уявна. Але рівняння можна розкласти на множники – лінія розпадна.

4. Якщо ; ; маємо е – дійсна розпадна. Існують точки, що задовольняють дане рівняння і рівняння можна розкласти на множники , тому лінію наз. дійсною і розпадною.

5. Якщо ; ; маємо – пара прямих, що збігаються. і – дві прямі, що збігаються. Таким чином, щоб визначити тип лінії 2-го порядку потрібно рівняння лінії звести до канонічного вигляду і за рівнянням визначити тип. Можна поступити інакше: встанови критерій розпадності лінії 2-го порядку.

Критерій розпадності лінії 2-го порядку:

Для того, щоб лінія 2-го порядку була розпадною необхідно і достатньо, щоб виконувалась умова:

13. Різні способи задання площини у просторі (в аналітичному вигляді). Взаємне розміщення 2-х площин. Кут між площинами.

Зафіксуємо в просторі довільну т. і два вектори і .

Площиною, яка проходить через т. паралельно до векторів і , наз. множина точок М простору, таких, що , де .

Точка — початкова точка площини; і — напрямні вектори.

Площину у просторі можна задати початковою точкою і двома неколінарними векторами. .

Знайдемо рівняння площини П. Введемо репер . Нехай , , , .

З рівняння (1)

— параметричні рівняння площини у просторі

Запишемо умову компланарності векторів , і через визначник: .

.

.

.

— загальне рівняння площини

A, B, C – координати нормального вектора . Якщо , то рівняння наз. нормальним рівнянням площини.

— нормальне рівняння.

Нехай площина визначається трьома точками , , .

івмя

.

– рівняння площини, що визначається трьома точками.

– рівняння площини у відрізках на осях координатах.

Якщо площина визначена початковою точкою і нормальним вектором .

, .

– рівняння площини, що визначається початковою точкою і нормальним вектором.

Нехай задано 2 площини і .

. (1)

Для дослідження взаємного розміщення площин і дослідимо систему (1) на розв’язки. Для цього знайдемо ранги.

, .

1. система сумісна, має єдиний розв’язок, тобто площини мають спільну точку. Отже, вони перетинаються по прямій. Припустимо, що , . – умова перпендикулярності 2-х площин.

2. система несумісна, площини є паралельними, . – умова паралельності 2-х площин.

3. система є сумісною і має безліч розв’язків. Площини суміщаються. – умова суміщення 2-х площин.

Під кутом між двома площинами розуміють двогранний кут, утворений при перетині двох площин, який вимірюється лінійним кутом.

, .