25. Поняття поверхні в евклідовому просторі. Гладкі поверхні і їх параметризація. Перша квадратична форма і її застосування.
Простим куском поверхні наз. геометрична фігура, яка топологічно еквівалентна плоскій однозв’язній області.
Регулярною поверхнею наз. геометрична фігура, яка є результатом об’єднання простих кусків поверхонь.
Способи задання поверхонь:
1. Явним рівнянням z=f(x,y)
При такому способі задання поверхня буде регулярною, якщо функція z=f(x,y) неперервна і неперервно диференційована по обох змінних.
2. Неявним рівнянням Ф=(x,y.z)
Поверхня
буде регулярною, якщо функція Ф=(x,y.z)
неперервна і неперервно диференційована
по всіх змінних, і крім того
3.Параметричний спосіб
Поверхня
буде регулярною, якщо функції x,y,z
неперервна і неперервно диференційована
по обох змінних, і крім того вектори
і
4.Векторний спосіб
Щоб
перейти від способу задання поверхні
явним рівнянням до координатного
поступають так:
Якщо поверхня регулярна в кожній своїй точці, то її наз. регулярною.
Перша квадратична форма і її застосування.
Розглянемо
поверхню
.
На цій поверхні виберемо деяку лінію
Задача
знайти довжину лінії на поверхні, яка
визначається точками
,
,
,
=
(1)
Введемо
позначення
=Е,
=F,
=G
Величини E,F,G функції параметрів u і v, вони наз. коефіцієнтами Гауса або коеф. 1-ї квадратичної форми(1). Ця форма додатньовизначена, оскільки для всіх значень du, dv , які визначають напрямок лінії на поверхні приймає додатнє значення. В конкретній точці E,F,G-числа.
S=
=
(2)
(3) дозволяє обчислювати довжину дуги на поверхні, якщо відомо внутрішнє рівняння кривої і коеф. 1-ї квадр. Форми. Зовн6ішнє рівняння може бути невідомим.
Якщо
лінія на площині задана рівнянням y=f(x)
V=f(u),
то формула для обчислення довжини лінії
запишеться так: S=
Встановимо вид коефіц. Гауса для різних способів задання:
1)
векторний спосіб задання E=
,
F=
,
G=
2)
явне задання
E=1+
,
F=
,
G=1+
Якщо розглядувана поверхня співпадає з площиною xy, то коеф. Гауса визнач. так E=G=1, F=0