- •1. Аналіз поняття множини. Потужність множини. Зчисленні множини та їх властивості. Множини натуральних чисел n, цілих z, раціональних q, та дійсних чисел r, їх потужність.
- •2. Множина дійсних чисел r, її властивості. Поняття верхньої і нижньої граней числової множин, їх існування і властивості. Теорема Кантора.
- •3. Границя послідовності. Основні теореми про збіжність послідовностей. Границя обмеженої монотонної послідовності. Число е. Границя послідовності в метричному просторі.
- •4. Поняття функції. Способи задання функцій. Функції n дійсних змінних та комплексної змінної. Поняття функції в школі.
- •Словесний.
- •6. Неперервність функції в точці і на відрізку. Неперервність функції кількох змінних та функцій комплексної змінної. Поняття рівномірної неперервності.
- •7. Основні теореми про неперервність функції
- •8. Розвиток поняття степеня. Степенева ф-я в дійсній та комплексній області /означення, властивості/. Степенева ф-я в школі.
- •9. Показникові ф-я дійсній та комплексній змінної (означення, властивості). Показникові ф-я в школі.
- •10. Логарифмічна ф-ія дійсної та комплексної змінної (означення, властивості). Розклад її в степеневий ряд. Логарифмічна ф-ія в школі.
- •13. Похідна ф-ії комплексної змінної. Умови диференційовності. Аналітичні ф-ії.
- •14. Теорема Ролля. Т-ма Лагранжа. Т-ма Коші.
- •15.Екстремуми ф-ції. Опуклість і точки перегину. Асимптоти.
- •16. Первісна та її властивості, невизначений інтеграл. Основні методи інтегрування.
- •17. Визначений інтеграл та умови його існування. Формула Ньютона-Лейбніца, вивчення інтеграла в школі.
- •1. Задача про обчислення площі кривої трапеції.
- •2. Задача з механіки.
- •19. Поняття метричного простору. Повні метричні простори.
- •20. Теорема Банаха про стискуючі відображення та її застосування.
- •21. Числові ряди з дійсними та комплексними членами, основні поняття. Необхідна умова збіжності. Геометрична прогресія та гармонічний ряд. Властивості збіжних рядів.
- •22.Ознаки збіжності рядів з додатними членами. Ряди з довільними членами, їх абсолютна та умовна збіжність, властивості.
- •23. Степеневі ряди з дійсними та комплексними членами. Абсолютна збіжність. Інтервал та радіус збіжності.
- •25.Застосування інтегрального числення до розв-ня задач геометрії і фізики.
- •1. Площа фігури.
- •26. Обернені тригонометричні функції дійсної та комплексної змінної (означення, властивості).
- •27. Означення поняття теорії диференц. Рівнянь: порядок, розв’язок, загальний розв’язок, інтегральна крива, початкові умови, задача Коші.
- •28. Диф. Рівняння з відокремлюваними змінними, лінійні рівняння та рівняння, що зводяться до них.
- •30. Лінійні диф. Рівняння вищих порядків із сталими коефіцієнтами та їх застосування до вивчення коливних процесів.
6. Неперервність функції в точці і на відрізку. Неперервність функції кількох змінних та функцій комплексної змінної. Поняття рівномірної неперервності.
Нехай задана функція , ,
Визначення 1:
Функція назив. неперервною в точці , якщо границя функції в цій точці = значенню функції в цій точці.
Визначення 2:
Функція назив. непер. в точці , якщо для будь-якого
Визначення 3:
Фу-я f(x) назив.непер. в т. , якщо якусь послідовність значень
Властивості фу-й непер. на відрізку:
Теорема Больцано – Коші: Якщо фу-я f(x) неперервна на відрізку і на кінцях його має значення, протилежні за знаком, то f(x) обертається в нуль принаймі в одній точці інтервалу (а,в)
Геометрично результат теореми очевидний. Якщо , то точки лежать у різних напівплощинах. На які вісь ділить площину . Графік неперервної функції , який з’єднує ці точки, обов’язково перетне вісь принаймні в одній точці.
Вимога неперервності функції на відрізку є необхідною: функція, що має розрив хоча б в одній точці, може перейти від від’ємного значення до додатного, не обертаючись у нуль.
Теорема Больцано – Коші (про проміжні значення неперервної функції): Нехай фу-я непер. на відр. , причому . Тоді, яким би не було число С, що стоїть між числами А і В, на відрізку знайдеться принаймі одна точка С, така, що .
Ці теореми встановлюють, що переходячи від одного свого значення до іншого, функція хоча б один раз набуває кожного свого проміжного значення між її значеннями на кінцях відрізків.
Теорема Веєрштрасса (про обмеженість неперервної на відр. фу-ї): Якщо фу-я непер. на відрізку , то вона обмежена на ньому зверху й знизу, тобто існують такі числа m і M , що для всіх х є справедлива нерівність
Поняття рівномірної неперервності: фу-я назив. непер. в точці де на мові екстремум якщо для будь-якого існує таке , що . Фу-я , назив рівномірно неперервною на проміжку Х, якщо для будь-якого , що з нерівності слідує нерівність , де б ми не взяли з проміжку . Має місце наступна теорема - теорема Кантора: Якщо фу-я неперервна на відр. , то вона ріваномірно неперервна на ньому.
Доведення: (методом від супротивного) Нехай для даного не існує такого про яке мова йде в теоремі. Нехай існує таке , з нерівності . Розглянемо послідовність - додатніх чисел, таких, що , тоді для кожного знайдуться на відрізку значення , такі, що з нерівності Згідно леми Б-В з обмеженої послідовності можна завжди виділити збіжну підпослідовність. . Тоді в силу неперервності фу-ї в точці випливає, що з нерівності повинно випливати Модуль різниці стає як завгодно малий. А це суперечить умові.
Нехай для довільного визначені фу-ї , розглянемо фу-ю (1). Ця фу-я є комплексно значною від дійсної змінної.
Фу-я буде неперервною в т. ,якщо в цій точці будуть неперервними фу-ї і . Мають місце всі відомі властивості неперервних фу-й дійсної змінної. Фу-я назив. диференційованою в точці , якщо в цій точці диференційованими є фу-ї і і похідна
Функція комплексної змінної: нехай кожному елементу z з деякої множини Е за певним законом поставимо у однозначну відповідність компл. число із множн. , тоді на мн. комплексно значна фу-я комплексної змінної. Їх називають комплексними фу-и змінної. ,
Фу-я наз. неперервною в т. якщо вона в цій точці визначена і . Фу-я буде неперервною в т. якщо неперервними будуть фу-ї та . Мають місце вл. неперервних фу-й дійсної змінної, а саме:
Якщо неперервна в точці , то неперервними в цій точці будуть фу-ї: Неперервною також суперпозиція двох неперервних фу-й.