6. Неперервність функції в точці і на відрізку. Неперервність функції кількох змінних та функцій комплексної змінної. Поняття рівномірної неперервності.

Нехай задана функція , ,

Визначення 1:

Функція назив. неперервною в точці , якщо границя функції в цій точці = значенню функції в цій точці.

Визначення 2:

Функція назив. непер. в точці , якщо для будь-якого

Визначення 3:

Фу-я f(x) назив.непер. в т. , якщо якусь послідовність значень

Властивості фу-й непер. на відрізку:

Теорема Больцано – Коші: Якщо фу-я f(x) неперервна на відрізку і на кінцях його має значення, протилежні за знаком, то f(x) обертається в нуль принаймі в одній точці інтервалу (а,в)

Геометрично результат теореми очевидний. Якщо , то точки лежать у різних напівплощинах. На які вісь ділить площину . Графік неперервної функції , який з’єднує ці точки, обов’язково перетне вісь принаймні в одній точці.

Вимога неперервності функції на відрізку є необхідною: функція, що має розрив хоча б в одній точці, може перейти від від’ємного значення до додатного, не обертаючись у нуль.

Теорема Больцано – Коші (про проміжні значення неперервної функції): Нехай фу-я непер. на відр. , причому . Тоді, яким би не було число С, що стоїть між числами А і В, на відрізку знайдеться принаймі одна точка С, така, що .

Ці теореми встановлюють, що переходячи від одного свого значення до іншого, функція хоча б один раз набуває кожного свого проміжного значення між її значеннями на кінцях відрізків.

Теорема Веєрштрасса (про обмеженість неперервної на відр. фу-ї): Якщо фу-я непер. на відрізку , то вона обмежена на ньому зверху й знизу, тобто існують такі числа m і M , що для всіх х є справедлива нерівність

Поняття рівномірної неперервності: фу-я назив. непер. в точці де на мові екстремум якщо для будь-якого існує таке , що . Фу-я , назив рівномірно неперервною на проміжку Х, якщо для будь-якого , що з нерівності слідує нерівність , де б ми не взяли з проміжку . Має місце наступна теорема - теорема Кантора: Якщо фу-я неперервна на відр. , то вона ріваномірно неперервна на ньому.

Доведення: (методом від супротивного) Нехай для даного не існує такого про яке мова йде в теоремі. Нехай існує таке , з нерівності . Розглянемо послідовність - додатніх чисел, таких, що , тоді для кожного знайдуться на відрізку значення , такі, що з нерівності Згідно леми Б-В з обмеженої послідовності можна завжди виділити збіжну підпослідовність. . Тоді в силу неперервності фу-ї в точці випливає, що з нерівності повинно випливати Модуль різниці стає як завгодно малий. А це суперечить умові.

Нехай для довільного визначені фу-ї , розглянемо фу-ю (1). Ця фу-я є комплексно значною від дійсної змінної.

Фу-я буде неперервною в т. ,якщо в цій точці будуть неперервними фу-ї і . Мають місце всі відомі властивості неперервних фу-й дійсної змінної. Фу-я назив. диференційованою в точці , якщо в цій точці диференційованими є фу-ї і і похідна

Функція комплексної змінної: нехай кожному елементу z з деякої множини Е за певним законом поставимо у однозначну відповідність компл. число із множн. , тоді на мн. комплексно значна фу-я комплексної змінної. Їх називають комплексними фу-и змінної. ,

Фу-я наз. неперервною в т. якщо вона в цій точці визначена і . Фу-я буде неперервною в т. якщо неперервними будуть фу-ї та . Мають місце вл. неперервних фу-й дійсної змінної, а саме:

Якщо неперервна в точці , то неперервними в цій точці будуть фу-ї: Неперервною також суперпозиція двох неперервних фу-й.