19. Поле. Приклади полів, основні властивості полів. Ізоморфізм та гомоморфізм полів.

Непорожня множина П елементів довільної природи, в якій введено дві бінарні операції і і виконується виконання вимог:

1) ,

2) ,

3)

4)

5),

6) ,

7) наз. полем.

Всі вимоги поля – це властивості, дій над дійсними числами.

Вимога 6) поля еквівалентна двом вимогам: існування нульового елемента та існування для кожного елемента протилежного.

Приклади.

Множина натуральних чисел не є полем, бо не виконуються. вимоги 6), 7).

Множина цілих чисел не є полем, бо не виконується. вимога 7).

Множини раціональних, дійсних, комплексних чисел є полями, бо не викон.

Полем буде множина чисел - просте. Таке полів безліч.

Основні властивості:

1. В полі існує і притому єдиний нульовий елемент .

2. В полі кожний елемент має єдиний протилежний елемент .

3. В полі нуль немає дільників.

Довед. Від супротивного.

Припустимо, що існують ненульові елементи , але їх добуток , так як , то згідно 7) він має обернений . Помножимо на : , . . Одержали суперечність з припущенням, використовуючи такі модифікацію .

2-а поля наз. ізоморфними, якщо хоча б одним способом між їх елементами можна встановити взаємооднозначну відповідність, таку, що якщо існує хоч одне відображення таке, що , .

Два поля наз. гомоморфними, якщо хоча б одним способом між їх елементами можна встановити відповідність, і не обов’язково взаємооднозначну, але таку, що , .

Основними властивостями ізоморфізму(гомоморфізму) є:

1. При ізоморфізмі (гомоморфізмі) одиничний елемент поля П переходить в одиничний елемент поля П .

2. При ізоморфізмі (гомоморфізмі) образ нульового елемента поля П переходить в нульовий елемент поля П .

3. При ізоморфізмі (гомоморфізмі) образ протилежного елемента дорівнює протилежному елементу образу.

4. При ізоморфізмі (гомоморфізмі) образ оберненого елемента дорівнює оберненому елементу образу.

20. Поле комплексних чисел. Комплексні числа, алгебраїчна форма комплексних чисел.

Комплексним числом наз. впорядкована пара дійсних чисел. Позначається . , наз. компонентами комплексного числа.

Площина, на якій зображуються комплексні числа наз. комплексною.

Нехай маємо два комплексних числа , . Два комплексних числа наз. рівними, якщо рівні їх відповідні компоненти: , .

Сумою 2-ох комплексних чисел наз. таке комплексне число , компоненти якого дорівнюють сумі відповідних компонент .

Добутком 2-ох комплексних чисел наз. таке число, компоненти якого обчислюються за правилом .

Нульовим комплексним числом наз. комплексне число , якщо для кожного : .

Комплексне число наз. одиничним комплексним числом, якщо для будь-якого : .

Комплексне число наз. протилежним до числа , якщо .

Обчислюючи безпосередньо ліву та праву частини, встановлюємо, що множина всіх комплексних чисел відносно операцій додавання і множення утворюють поле.

Запис комплексного числа у виді наз. алгебраїчною формою запису комплексних чисел. , наз. дійсною частиною, –уявною. .

Щоб додати (відняти) 2-а комплексні числа в алгебраїчній формі потрібно додати (відняти) їх дійсні частини і додати (відняти) уявні.

Щоб помножити 2-а комплексних числа в алгебраїчній формі потрібно перемножити їх як двочлени та виділити дійсну та уявну частини.

Щоб помножити 2-а комплексних числа в алгебраїчні формі потрібно домножити чисельник і знаменник на спряжене знаменника та виділити дійсну та уявну частини.