1. Матриці, дії над матрицями

Матрицю розміром MxN називаеться прямокутна таблиця чисел складена з M-рядків та N-стовпців, і саписана у вигляді:

Коротко матриця позначаеться так: A=(a_ij), де a_ij елементи матриці, причому індекс і в елементі a_ij позначае номер рядка, а j номер стовпця на перетині яких стоїть елемент.

Добуток кількості рядків на кількість стовпців, називаеться розміром матриці A_mxn

Числа, які утворюють матрицю, називаються елементами матриці

Дві матриці називаються рівними, якщо вони мають рівні розміри і рівні відповіді елементи.

Матриця яка мае тільки один рядок(стовпець) називаеться матриця-рядок(матриця-стовпець).

Матриця, всі елементи якої нулі називаеться нульовою матрицею.

Якщо кількість рядків = кількості стовпців, то матриця назив квадратною. Кількість рядків або стовпців квадратної матриці назив її порядком.

Квадратна матриця назив діагональною якщо всі її елементи , що не лежать на головній діагоналі = 0.

Діагональна матриця, елементи головної діагоналі якої =1 називаеться одиничною і позначаеться Е.

Квадратна матриця у якої всі елементи розміщені по одну сторну від головної діагоналі = 0 називаеться прамокутною

ДІЇ над МАТРИЦЯми

1.) Додавання матриць

Операція додавання матриць визначена тільки для матриць однакових розмірів.

Сумою двох матриць A_mxn=(a_ij) i B_mxn=(b_ij) називаеться матриця C_mxn=(c_ij) =(a_ij +b_ij)

2.) Добуток матриці на число

Добутком матриці A_mxn=(a_ij) на число k назив матриця B_mxn=(ka_ij)

3.)Віднімання матриць

Різниця матриць A_mxn- B_mxn визначаеться сума матриці А і матриці В помноженою на -1

А-В=А+(-1)В

Для операцій 1-3 справедливі наступні властивості

1) А+В=В+А-комунікативність відносно додавання матриць

2) (А+В)+С=А+(В+С)-асоціативність відносно додавання матриць

3) А+0=А або А-А=0 –роль нульової матриці в діях над матрицею, така як і числа 0 в діях над числами

4) α(В*А)=(α*В)А –дистрибутивність відносно множення чисел

5) α(А+В)= αА+αВ –дистрибутивність множення на число відносно додавання матриць

6) (α+В)А=αА+ВА –дистрибутивність множення матриць відносно додавання чисел

4.) Множення матриць

Операція множення матриць справедлива тільки для матриць у якої кількість стовпців першої матриці = кількості рядків 2гої

Добутком матриці A_mxn=(a_ij) і B_mxn=(b_ij) називаеться така матриця у якої елемент С_mxn= сумі добутків елементів іншого рядка матриці А на відповідні елементи того стовпця матриці В.

C_mxn=(a_i1 b_1j+ a_i2 b_2j+…+ a_in b_nj)

C=C_mxn=(c_ij)

A*B≠B*A

2.Визначники 2-го і 3-го порядків. Властивості визначників.

Нехай дано кВ. матриця А другого порядку

А=

Визначником другого порядку що відповідае матрицы називаеться число___________

Det А= =а11*а22-а12*а21

Нехай дано квадратну матрицю А 3-го порядку

Визначником 3-го порядку, що відповідае матриці А назив число:

Det А= =а11*а22*а33+а12*а23*а31+а21*а32*а13-а13*а22*а31-а12*а21*а33-а23*а32*а11

3 Обернена матриця

Нехай дано визначник ІІІ-го порядку

Мінором позначається Mij елемента aij визначника називається визначник, який утворюється з даного визначника в результаті викресленя i рядка та j-го стовпчика

Алгебраїчним доповненням aij елемента aij називається його мінор взятий зі знаком (-1)

Матриця визначник якої дорівнює 0, називається особливою, а матриця з відмінним від нуля визначником не особливою.

Якщо для квадратної матриці А існує матриця Х така, що АХ=ХА=Е то матриця Х називається оберненою до матриці А познач.(А^-1)

Обернена матриця існує тільки для не особливих матриць.

Розв’язування систем лінійних рівнянь за допомогою оберненої матриці(практика)