2. Логічна побудова курсу геометрії. Різні можливі підходи до побудови шкільного курсу геометрії. Їх порівняльно-дидактичний аналіз.
Загальноосвітній курс геометрії забезпечує базову геометричну підготовку достатню для продовження освіти в старшій або професійній школі.
Виділяються три ступені вивчення геометрії: 1-4, 5-6, 7-9.
В 1-4 класах здійснюється пропедевтична підготовка учнів до вивчення цього курсу.
5-6 класи. Основна мета вивчення геометричного матеріалу -ознайомити учнів з елементами геометричних знань і підготувати їх до успішного вивчення геометрії в наступних 7-9 класах.
Вивчення геометричних фігур і тіл супроводжується безпосередніми маніпуляціями з моделями, їх побудовою, конструюванням, спирається на приклади з навколишнього середовища і максимально враховує життєвий досвід учнів.
Учні знайомляться з величинами (довжина і площа), їх вимірюванням і відношенням (взаємне розміщення, паралельності, перпендикулярності).
Основна мета вивчення геометрії в 5-6 класах ввести на наочно-інтуїтивному рівні поняття про основні фігури на площині і простіші геометричні тіла, їх побудову і вимірювання, розширити уявлення учнів, здобуті в попередніх класах, про істотні ознаки геометричних фігур, уміння обчислювати геометричні величини (довжини, площі, об'єми деяких фігур) за формулами. Геометричні поняття, операції і відношення дістають математичне спрямування.
Мета курсу геометрії в 7-9 класах - систематичне вивчення властивостей геометричних фігур на площині; засвоєння елементів стереометрії на наочно-інтуїтивному рівні; вироблення вмінь будувати геометричні фігури і застосовувати їх властивості при вивченні суміжних дисциплін; дальше вивчення величин; ознайомлення учнів із застосуванням аналітичного апарату (елементи тригонометрії і алгебри, вектори і координати) до розв'язування задач. Курс геометрії стає базовим курсом, який забезпечує систему фундаментальних знань з геометрії для всіх учнів. Основний апарат доведення - ознаки рівності трикутників, однак залучаються і засоби алгебри.
Поглиблений курс геометрії вивчається учнями 8-9 класів, які мають намір обрати в старшій школі профілюючим предметом математику або піти навчатися в природничо-математичні ліцеї, спеціалізовані фізико-математичні школи, технічні коледжі тощо.
Геометрія вивчається на більш високому теоретичному рівні, деякі питання загальноосвітнього курсу поглиблюються (поняття про довжину кривої, ізопериметрична задача, перспективне розміщення многокутників, композиція симетрій, поворотів і ін.).
Загальна характеристика аксіоматичного методу
Аксіоматичний метод - спосіб побудови наукової теорії, при якій в її основу покладені деякі вихідні положення (судження) - аксіоми або постулати, з яких всі останні твердження цієї теорії (теореми) повинні виводитися чисто логічним шляхом за допомогою доведення [20 с. 345].
Аксіоматичний метод використовувався ще Евклідом, але лише у відносно недавній час він пройняв і інші області математики. Так, в основу побудови всієї математики Н. Бурмакі поклав аксіоматичний метод [23].
Аксіоматична побудова деякої теорії здійснюється таким чином:
а) вибираються основні (початкові) поняття і відношення даної теорії, які не означаються;
б) виділяються деякі початкові твердження - аксіоми, які установлюють зв'язок між початковими поняттями і відношеннями, аксіоми приймаються без доведень;
в) всі знов ввідні поняття означаються через початкові або через раніше означені поняття і відносини, всі нові твердження теорії (теореми) доводяться на основі раніше введених понять і аксіом або раніше доведених теорем.
Побудова теорії на основі аксіоматичного методу називається дедуктивною.
Курс геометрії як учбовий предмет на протязі довгого часу в усіх країнах світу був побудований на основі аксіом Евкліда.
В 1899 році в праці Основи геометрії "німецьким" математиком Д.Гільбертом була побудована повна система аксіом геометрії Евкліда, яка стала основою побудови шкільного курсу геометрії в багатьох країнах світу, а також і в нашій країні.
В аксіоматиці Д.Гільберта неозначених понять три: точка, пряма, площина; основних відношень чотири: "належність", "між", "рівність" (для відрізків і кутів).
Система аксіом Д.Гільберта подана п'ятьма групами аксіом: належності, порядку, рівності, паралельності, неперервності.
За допомогою аксіоматики Д.ГІльберта здійснюється побудова тільки тривимірної геометрії. Але для практичних застосувань стала необхідною n-вимірна геометрія, тому виникла необхідність заміни системи аксіом Д.ГІльберта повною системою аксіом, яка була запропонована його учнем Г.Вейлем в 1917 році.
Основними неозначеними поняттями в аксіоматиці Г.Вейля являються поняття вектора і точки. Експериментальні підручники "Геометрія 6-8" В.Г.Болтянського, М.Б.Воловича, А.Д.Семушинамали наметі підготувати учнів до вивчення курсів стереометрії на основі векторної аксіоматики. Але багато педагогів-математиків вважають передчасним запроваджувати в школу в теперішній час аксіоматику Г.Вейля.
Якою б не була система аксіом геометрії вона повинна задовольняти загальні вимоги: несуперечливості, повноти і незалежності.
Вперше в 1926 році Н.І.Лобачевський зробив усне повідомлення про своє відкриття.
Н.І.Лобачевський замінив п'ятий постулат такою аксіомою: "Через точку С, яка не належить прямій АВ, в площині ABC проходить нескінчена кількість прямих, які не перетинаються з АВ".
Всі останні постулати і аксіоми Евкліда Н.І.Лобачевський сприйняв за істині.
3. Взаємне розміщення прямих і площин.
Знання про взаємне розміщення прямих і площин лежать в основі вивчення властивостей геометричних фігур як в планіметрії, таке і в стереометрії.
Вивчення взаємного розміщення прямих і площин в шкільному курсі математики можна поділити на три етапи:
підготовча (пропедевтична) робота по ознайомленню учнів з взаємним розташуванням прямих на площині і деякими просторовими фігурами в 1-6 класах;
систематичне вивчення взаємного розташування прямих на площині в 7-9 класах;
систематичне ви вчення взаємного розташування прямих і площин в просторі в 10-11 класах.
Паралельність прямих і площин
В дев'ятирічній школі розглядають основні питання теорії паралельності, яка викладається без належної повноти і строгості, але утворює достатню базу для розгляду паралельності в просторі. Учення про паралельність прямих в курсі планіметрії можна розділити на слідуючі частини:
означення паралельних прямих;
існування паралельних прямих;
побудова паралельних прямих;
аксіома паралельних;
властивості паралельних прямих;
ознаки паралельних прямих;
застосування вивченої теорії.
Паралельність в просторі
В шкільному курсі геометрії (стереометрії) тема "Паралельність в просторі" складається із чотирьох самостійних частин, а саме:
паралельність прямих в просторі, мимобіжні прямі;
паралельність прямої і площини;
паралельність площин в просторі;
паралельна проекція і її властивості, зображення просторових фігур на площині.
В діючих підручниках з геометрії (стереометрії) розглядається означення паралельних прямих: "Дві прямі називаються паралельними, якщо вони лежать в одній площині і не перетинаються".
Паралельність прямої і площини
Формулювання означень паралельності прямої і площини в навчальних посібниках, так же як і підходи до вивчення різні.
Паралельність площин
Формулювання означень паралельності площин в навчальних посібниках, також як підходи до вивчення різні.
Дві площини називаються паралельними, якщо вони:
1) не мають спільної точки 2) не перетинаються
(Атанасян Л.С.) (Погорелов О.С., Бевз Г.П.)
Із означення паралельності площин, однак не слідує існування паралельних площин. Існування доводиться наступною теоремою.
Теорема. Існує єдина площина, яка проходить через точку, яка не належить даній площині, і паралельна цій площині.
В діючих підручниках з геометрії доводяться теореми: ознака паралельності двох площин (методом від супротивного), властивості паралельних площин, стосовно існування площини, паралельної даній, але в геометрії О.В. Погорєлова це теорема, а геометрія Г.П. Бевза- задача.
Головне, суттєве в темі: означення паралельності площин, ознака паралельності площин і опорні (базові) задачі.
Перпендикулярність прямих на площині
Основою учення про перпендикулярність прямих в середній школі є поняття кута між прямими і уміння вимірювати величину кута. Вводяться означення перпендикулярних прямих, перпендикуляра до даної прямої. Важливо звернути увагу на відмінність понять перпендикулярні прямі і перпендикуляр до даної прямої. Перлендикуляр до даної прямої є відрізок, один кінець якого лежить на прямій, до якої він перпендикулярний. Існування перпендикулярних прямих показується конструктивно. Доведення єдиності перпендикуляра до прямої, який проходить через дану точку, може спиратися на різні положення.
В розділі про перпендикулярність прямих на площині розглядається поняття похилої до даної прямої. Особливо розглядається випадок про перпендикуляр і похилі до даної прямої, які проходять через точку поза нею, бо в одному випадку перпендикуляр і похилі виступають як геометричні фігури - прямі, а в іншому - як величини.
Перпендикулярність в просторі
Всю тему умовно поділяють на три частини:
перпендикулярність прямих в просторі;
перпендикулярність прямої і площини;
перпендикулярність площин.
В процесі вивчення кожної із вказаних частин потрібно виходити із загальної схеми взаємного розташування прямих і площин, з якою учні познайомилися на початку курсу стереометрії при вивченні паралельності в просторі.
Ця тема має великий прикладний характер, а тому при вивченні особливу увагу потрібно приділити розв'язанню задач; в задачах бажано використовувати многогранники (призми і піраміди) з метою підготовки учнів до вивчення відповідного розділу в курсі стереометрії 11 класу.
В навчальних посібниках по стереометрії прийняті різні означення перпендикулярності прямої до площини.
В діючих підручниках по геометрії (стереометрія) прийнято означення перпендикулярності прямої до площини "Пряма називається перпендикулярною до площини, якщо вона перетинає цю площину і перпендикулярна до кожної прямої, яка лежить у площині і проходить через точку перетину". В зв'язку з цим ознака перпендикулярності прямої до площини формулюється наступним чином: "Якщо пряма перпендикулярна до двох перетинаючих прямих цієї площині, то вона перпендикулярна і до площини" (О.В. Погорєлов).
4. Координати і вектори в просторі. Основна мета теми при навчанні в профільних класах.
Цілі і навчальні задачі вивчення координатного методу в школі:
показати, що координатний метод має свою мову, свої прийоми, дає можливість виражати властивості геометричних фігур аналітичною мовою в вигляді рівнянь і нерівностей і відповідно рівняння функції, нерівності перекладати на геометричну мову (графіків):
сформувати понятійний апарат координатного методу (координатна пряма, координатна площина, координати точки, рівняння прямої, кола, параболи, гіперболи, рівняння відрізку, координати середини відрізку);
сформувати конкретні прийоми використання координатного методу при вивченні курсів алгебри і геометрії.
Понятійний апарат координатного методу для прямокутної системи координат:
абсциса;
ордината;
координати (точки) - числа, які взяті в певному порядку і характеризують положення точки на прямій, на площині, в просторі;
координатна пряма; в математиці координатна пряма або координати на прямій вводяться на основі теореми (аксіоми); в школі координатна пряма вводиться поступовим "присвоєнням" точкам прямої визначених чисел в зв'язку з розширенням числових множин і осмислення операції відкладання відрізків (вимірювання відрізків);
координатна площина;
Вектор поняття математичне, яке знаходить своє застосування в фізиці і в інших прикладних науках. В математиці розглядають вільні вектори (вектор, не зв'язаний ні з якою прямою і ні з якою фіксованою точкою). Різні направлені відрізки, які мають однакову довжину) напрям, є зображенням одного й того ж вільного вектора. Або вільним вектором називається клас еквівалентних напрямлених відрізків.
Операції над векторами, які вивчаються в школі, такі: додавання векторів (віднімання), множення векторів на число, скалярний добуток векторів.
Ці операції вводяться:
в геометричній формі;
в координатній формі.
Центральним в даній темі є поняття координат вектора. При доведенні теорем даної теми застосовуються як координатний, так і традиційно-синтетичні методи.
Загальна ідея доведення векторних рівностей за допомогою координат така: для доведення векторної рівності досить встановити рівність відповідних координат векторів, записаних в обох його частинах.
В просторі, як і на площині, вектором називається напрямлений відрізок (Погорєлов А.В.. Бевз Г.П. та інші). Так само як і на площині, означаються: основні поняття для векторів в просторі, абсолютна величина вектора, напрям вектора, рівність векторів, дії над векторами: додавання, множення на число і скалярний добуток.
В основу методики вивчення векторів в просторі доцільно застосовувати метод аналогії, який може бути використаний не тільки для ознайомлення з фактами, але і при вивченні їх доведень.
7. Розвиток поняття про число. Числові системи та їх вивчення в профільних класах.
Поняття числа - стрижневе поняття шкільного курсі і служить фундаментом, на якому будується вивчення функцій, тотожних перетворень, рівнянь і т.ін.
В учнів повинно бути уявлення про число як про об'єкт, з котрим можна проводити арифметичні операції.
В шкільному курсі математики ми розглядаємо множини натуральних цілих, раціональних, дійсних і комплексних чисел, які є прикладами кілець і полів, що вивчаються в алгебраїчній науці з сяйної точки зору.
Вчитель, проводячи лінію розвитку поняття числа, додержується принципу розширення множини А до множини В, визначаємого такими умовами:
1. А повинна бути під множиною В (А с В).
Операції з елементами із множини А такі ж самі, що й з елементами із множини В, але суть тих операцій, які були тільки в множині А, залишаються незмінними.
На множині В повинна виконуватись операція, яка в множині А є нездійсненою або не завжди здійсненою.
Розширення В повинно бути мінімальним з усіх розширень множини А і повинно визначуватись однозначно з точністю до ізоморфізму.
Числа мають властивості, які ми виражаємо в поняттях їх рівності. суми і добутку.
Еволюція поняття числа - залежить від розвитку понять рівності, суми, добутку. Змінюючи умови рівності, суми і добутку, ми одержуємо нові числа.
Для того, щоб нові числа були рівноправними і узаконеними, необхідно внести означення:
I. 1) Поняття рівності.
2) Поняття "більше” і "менше", тобто установлення критерію порівняння нових чисел між собою і з раніше відомими числами, крім комплексних чисел, для яких поняття "більше" і "менше" не вводяться.
II. Поняття суми.
III. Поняття добутку.
Схематичний зв'язок понять за темою "Числова система" ілюструє рис..
Властивості
числової системи
1. До істотних ознак структурних елементів числової системи належать такі:
а) підпорядкованість законам алгебраїчних операцій;
б) наявність у кожного елемента числової системи модуля, тобто міри, яка позначається символом | | .
Схематичний зв'язок понять за темами ''Властивості числової системи та основні поняття арифметики" ілюструє рис. 5.2.
Рис. Властивості числової системи та основні поняття арифметики.
В математиці існує два підходи до побудови числових систем: аксіоматичний і конструктивний. У шкільному курсі математики присутні елементи обох цих підходів.
8. Функція в курсі алгебри і початків аналізу.
Поняття "функція" було впроваджено в математику в кінці XVII ст. Вперше Р.Декарт дослідив, як змінюється ордината точки в залежності від зміни її абсциси, але термін "функція" він не вживав. Цей термін (латинське слово functio означає виконання, здійснення) впровадив в математику в 1694 році Г.Лейбніц. Функцією він назвав відрізок, довжина якого змінюється по певному правилу. Ж.Фур'є, М.І.Лобачевський. Л.Дирихле, Б.Больцано, О.Коші стали вважати, що функцію можна задати не тільки аналітичним виразом, тобто поняття функції було більше розширено.
Функціональна лінія - головна в шкільному курсі математики.
Залежність змінної У від змінної X називають функціональною залежністю, функцією якщо кожному значенню X відповідає єдине значення У.
Область визначення D(f) і множина значень функції Е(f).
Способи завдання функції: алгебраїчний, графічний, табличний, описом.
В курсі алгебри і початків аналізу вивчається логарифмічна і показникова функції. Перед цим вивчаються тригонометричні і обернені до них функції.
Тобто далі розповідати про всі ці функції.
Схема дослідження функції (11 кл).
Області визначення і значення.
Парність і непарність. Періодичність.
Координати точок перетину графіку з осями координат.
Проміжки знакосталості. Зростання, спадання.
Точки екстремуму. Вид екстремуму, значення функції в цих точках.
Дослідження поведінки функції в околі характерних точок, які не входять в область визначення, і при великих (по модулю) значеннях аргументу.
В різних розділах шкільного курсу математики вивчаються властивості функцій на тому чи іншому рівні строгості, а саме:
область визначення функції;
область значення функції;
парність і непариість;
нулі;
періодичність;
проміжки знакосталості;
проміжки монотонності;
екстремуми;
графік функцій проходить через точки;
асимптоти.
Основна методична помилка, як вважає О.Г. Мордкович, полягає в тому, що з'явлення цих властивостей більш або менш повному об'ємі практично одночасно в темі "Побудова графіків функцій за допомогою похідної" спричиняє природні труднощі в учнів з-за надміру інформації і вважає не тільки можливим, але і корисним вживання, починаючи з 7 класу таких, наприклад, термінів, як неперервність, опуклість, без знання точних математичних означень.
10. Початки математичного аналізу.
Основні питання.
Границя і неперервність функції. Похідна та її застосування. Первісна і інтеграл. Найпростіші диференціальні рівняння в шкільному курсі математики (підручник).
11. Теорія імовірностей та елементів статистики. Місце та мета теми в курсі математики середньої школи.
В останні два десятиріччя проблема розвитку у школярів імовірнісно-статистичного мислення постала особливо гостро й актуально у зв'язку з новим етапом науково-технічного прогресу і розвитком ринкової економіки. Сучасне суспільство потребує вміння аналізувати випадкові чинники, оцінювати шанси, прогнозувати, висувати гіпотези, приймати рішення в умовах, які мають імовірнісний характер. На теорії ймовірностей вже давно ґрунтуються різні галузі науки і виробництва. Сучасне природознавство широко використовує теорію ймовірностей і статистику під час опрацювання результатів спостережень. На цих розділах науки ґрунтується сучасна фізика, механіка, астрономія, обчислювальна математика, економіка, військова справа. Промислові підприємства широко застосовують теорію ймовірностей і статистику не лише для відбраковування продукції, а й для організації процесу виробництва (статистичний контроль у виробництві).
Чинна шкільна програма з математики для загальноосвітніх навчальних закладів передбачає вивчення початків теорії ймовірностей в 11 класі в курсі алгебри і початків аналізу.
Мстою вивчення теми є введення основних понять теорії ймовірностей, поняття про теорію ймовірностей як науку, доведення теорем додавання та множення ймовірностей, теореми про ймовірність здійснення принаймні однієї з незалежних подій, введення поняття про класичну ймовірність і закону великих чисел; навчання учнів обчислюванню ймовірностей випадкових подій. При цьому учні мають:
отримати уявлення про випробування та випадкові події; повну групу подій: попарно несумісні, рівноможливі (рівноймовірні), елементарні події: схему Бернуллі;
знати означення вірогідної та неможливої подій; класичне означення ймовірності; теорему додавання ймовірностей несумісних подій; означення протилежної події; теорему множення незалежних подій; теорему про ймовірність здійснення принаймні однієї з незалежних подій: означення взаємно незалежних випробувань; статистичне означення ймовірності; закон великих чисел;
уміти обчислювати за класичним означенням імовірність події;використовувати теореми додавання та множення для обчислення ймовірностей подій; знаходити у найпростіших випадках імовірність здійснення принаймні однієї з незалежних подій.
В 11 класі основною метою вивчення теми «Початки теорії ймовірностей» є сформувати в учнів уявлення про основні поняття теорії ймовірностей і виробити вміння застосовувати їх до розв'язування простих задач.
Після вивчення теми учні мають:
отримати уявлення про стохастичний експеримент, елементарну подію та простір елементарних подій; випадкову подію як деяку підмножину множини елементарних подій та розуміти зміст висловлення “подія відбулася”; еквівалентність подій, неможливу подію, несумісні події: дискретний і неперервний розподіли статистичних імовірностей на просторі елементарних подій; центр розподілу та величину розсіювання статистичних імовірностей; умовні статистичні ймовірності можливість передбачення усередненого результату великої серії випробувань: математичне сподівання та дисперсію;
знати означення суми, добутку, різниці двох подій, протилежної події; основні властивості статистичних імовірностей; правила обчислення статистичної ймовірності суми і добутку кількох подій; формулу повної ймовірності;
уміти давати геометричну інтерпретацію операцій над подіями (за аналоги з операціями над множинами); обчислювати статистичні ймовірності; застосовувати правила обчислення суми і добутку кількох подій та формулу повної імовірності для розв’язування простих задач.
Методика вивчення теорем. Чинною програмою і підручником [387] передбачено вивчення таких тверджень (теорем):
теорема додавання ймовірностей несумісних подій і два наслідки з неї;
теорема множення ймовірностей і наслідок з неї;
теорема множення ймовірностей для незалежних подій;
теорема про ймовірність появи хоча б однієї з двох сумісних подій;
теорема про ймовірність здійснення принаймні однієї з не залежних подій;
формула Бернуллі (розглядається без доведення).
Досягнення кожним випускником середньої школи розуміння статистичного характеру масових процесів та їхніх законів у навколишньому світі - це основна мета вивчення елементів статистики в школі. Саме ці знання є основою для усвідомлення необхідності та важливості методів статистики у будь-якій сфері діяльності. Впровадження відомостей про статистику в загальноосвітній школі відбулось і відбувається нині зі значними труднощами і досить повільно.
Чинною програмою з математики вступ до статистики передбачено вивчати в 11 класі. Навчальний матеріал мас такий зміст: статистика та її методи; набір експериментальних даних, вибірка; наочне подання статистичного розподілу; точковий та інтервальний розподіл частот; полігон і гістограма; мода і медіана; середні значення (середнє арифметичне, середнє квадратичне); завдання математичної статистики. Відповідно до шкільної програми в школі вводяться основні поняття описової статистики.
12. Методика вивчення математики в вищій школі.
Методика математики - педагогічна наука, яка досліджує закономірності, шляхи та засоби навчання, виховання та розвитку учнів в процесі вивчення математики, розглядаючи процес навчання як цілісну динамічну соціально-педагогічну систему.
Предметом дослідження методики математики є теорія і практика навчання основам математики - науки, теорії і практики виховання та розвитку учнів в процесі навчання основам математики.
В методиці математики "основними відношеннями", які характеризують навчання є - викладання - зміст навчання - учіння, а одиницею процесу навчання є дидактичний прийом учителя, пізнавальна задача і пізнавальна дія учня.
Навчальний курс методики викладання математики складається з двох розділів: загальна методика (конкретизація дидактики з урахуванням математики; вироблення на психолого дидактичній основі загальних методичних ідей, положень) і окремі методики (застосування загальної методики до вивчення конкретних тем шкільного курсу математики; методики вивчення окремих математичних предметів).
Навчальні цілі - ідеальне уявлення результату, який має бути досягнутий у ході вивченя тієї чи іншої навчальної теми. Навчальна ціль як ідеальний результат майбутньої діяльності проектується при вивченні математики такими напрямками: формування світогляду і особистості учня; формування мислення і мовної культури учня; розвиток прикладних і політехнічних умінь; вимоги до математичної підготовки учнів. Основним документом, в якому визначаються цілі навчання математики є програма з математики.
Загальноосвітня мета викладання математики вимагає від учителя: передати учням певну систему математичних знань, навичок; навчити усній і письмовій математичній мові; допомогти учням досягти обов’язкових результатів навчання, навчити застосовувати набуті знання для розв’язання найпростіших завдань життєвої практики та вивчення інших навчальних предметів; ознайомити з шляхами пізнання реальної дійсності, математичними методами; навчити користуватися математичними інструментами та приладами, а також умінню самостійно здобувати знання (робота з підручником, науково-популярною літературою). Загальноосвітні цілі також покликані допомогти учителю раціонально розподілити час, розмежовуючи основний і другорядний матеріал.
Виховні цілі - виховання стійкого інтересу до вивчення математики, Ії ролі в практичній діяльності та повсякденному житті, моральне та естетичне виховання.
Розвиваючі цілі - виховання математичної і графічної культури; розвиток математичного мислення, навичок застосування аналізу, синтезу порівняння, аналогії, індукції, дедукції, узагальнення і конкретизації, моделювання, класифікації, геометричної, алгебраїчної та числової інтуїції; просторового уявлення, кмітливості, спостережливості, пам'яті тощо.
Учитель в цьому випадку виступає як організатор і керівник навчальною діяльністю учнів.
13.Інтерактивні методи навчання математики ( характеристика, класифікація)
Пошук ефективної методики викладання слід зосередити на використанні методів активного навчання з акцентом на інтерактивні форми. “Інтерактивний” означає здатність взаємодіяти, або знаходитися в режимі бесіди, діалогу з будь-чим (наприклад, з комп’ютером) або будь-ким (людиною). Інтерактивне навчання — це, насамперед, діалогове навчання, в ході якого відбувається поповнення новими знаннями в результаті взаємодії вчителя та учнів, учнів між собою, що має конкретну і прогнозовану мету. Це — створення комфортних умов навчання, за яких учень відчуває свою успішність, свої інтелектуальні досягнення, що робить продуктивним сам процес набуття знань.
У ході навчання практично всі учні втягуються у процес пізнання, мають можливість аналізувати те, що вони знають, розуміють і думають з даного приводу. Інтерактив виключає домінування однієї думки над іншими і будується на позитивному діалоговому спілкуванні. У ході діалогового навчання учні навчаються критично мислити, розв’язувати складні проблеми на основі аналізу обставин і відповідної інформації, зважувати альтернативні думки, приймати продумані рішення, дискутувати, спілкуватися з іншими людьми. Для цього на практичних заняттях організовується індивідуальна, парна та групова робота, застосовуються дослідницькі проекти, рольові ігри, обробляються різні джерела інформації. Ці форми роботи інтерактивні по суті, оскільки складаються з обміну інформацією, внаслідок чого дістаємо нову навчальну інформацію. [25]
Умовний поділ фронтальних методів на гру, тренінги, інформаційні технології підкреслює характер інтерактива, дає змогу викладачеві збільшити інформаційну завантаженість уроку за рахунок організації синхронних дій учнів і вчителя для досягнення навчальної мети при малому обсязі навчальних годин. Вибір гри чи тренінгу для проведення занять визначається метою заняття, і особливостями того чи іншого методу. Як правило, тренінги більшою мірою дають можливість досягти навчальної мети, ніж гра, оскільки мають змістовий характер, витриманий у часі. Гра містить суперечності між намаганням учасників перемогти, а не засвоїти навички чи розібратися в ситуації.
Інтерактивне навчання є однією з найбільш гнучких форм включення кожного учня в роботу, при якому забезпечується перехід від простих до складних завдань, намагання використовувати не готові знання, а отримувати їх на власному досвіді, що веде до розвитку мислення - творчого і діалектичного.
Інтерактивні технології використовують моделі викладання, зорієнтовані на придбання навичок і вмінь.
14. Форми проведення занять з математики в педагогічних ВНЗ.
До форм організації навчального процесу належать лекції, семінари, практичні заняття, консультації, заліки, екзамени, колоквіуми, конференції, диспути, додаткові заняття тощо.
Лекційно-практична система (підготовчий урок, лекція, практичні занята, семінари, контрольно-залікові уроки) навчання узгоджується з ціною викладу матеріалу блоками.
класу.
Лекція - систематичний, послідовний усний виклад вчителя навчального матеріалу. Готуючись до лекції, учитель має розробити її на конспект, визначити характер самостійної роботи учнів на лекції; а так передбачити форми навчальної діяльності, за допомогою яких здійснюватиметься розвиток і закріплення набутих на лекції знань. У лекції маю сполучатися інформаційні і проблемні початки.
Практичні заняття - форма навчального заняття, яка передбачає відтворення і застосування знань з метою їх поглиблення і зміцнення
На цих заняттях створюються умови для проведення індивідуальної і диференційованої роботи з учнями. Вчитель готує картки для самостійної роботи різного ступеня складності. Вправи і рекомендації до них підібрані так, що вони дають можливість учню виходити на різні якісні рівні знань
Семінар - форма навчального заняття, яка передбачає колективне обговорення учнями теми під керівництвом педагога. Семінари використовують з метою систематизації, узагальнення і закріплення знань. Семінар є формою поглибленого вивчення вузлових питань теми, встановлення взаємних зв'язків між ними.
Семінарські заняття проводять різними методами, що залежить від навчального матеріалу, який виносять на семінар, від теоретичної підготовки вчителя і рівня знань студентів, характеру і наявності додаткової літературу яку опрацьовують учні.
У період підготовки до семінару вчитель надає учням потрібні консультації.
Крім форм навчальних занять, розрізняють також форми навчальної дисциплінованості учнів: колективну та індивідуальну. Колективну форму роботи можна реалізувати в умовах групової або фронтальної (загально класної) роботи, індивідуальну - в умовах фронтальної роботи, в групах чи виключно індивідуально у рамках колективної роботи. Останнім часом набуває поширення організація роботи різних мікро колективів: парне взаємне навчання, навчальні ланки у складі чотирьох учнів, групи учнів. близьких (і відповідно відмінних) за рівнем підготовки. Групові форми навчання поєднуються з елементами гри.
Проте слід мати на увазі, що не кожна тема програми дає змогу організувати продуктивну колективну діяльність.
15. Засоби навчання математики.
До засобів навчання математики належать: підручник з математики, дидактичні матеріали і довідкова математична література, навчальне обладнання, зокрема наочні посібники, моделі, рисунки, схеми, таблиці, предмети оточення, інструменти, прилади, екранні засоби навчання, калькулятори, персональні комп'ютери, відповідні педагогічні програмні засоби. Вони мають утворювати єдиний комплекс, основою якого є підручник математики.
До підручника з математики висувається низка вимог стосовно структури викладу навчального матеріалу, зокрема педагогічна доцільність теоретичної частини і системи задач підручника, точності, стислості та ясності мови, жвавості, цікавості викладу, якості ілюстративного матеріалу.
Вимоги до методичного апарату підручника пов'язані із забезпеченням належного розвитку змістових ліній, методичної доцільності викладу теоретичного матеріалу, системи вправ і задач.
Навчальне обладнання з математики і методика його використання.
Реалізація принципу наочності під час вивчення математики — необхідна умова, що забезпечує ефективність навчання й умови для. запобігання формалізму.
Значну допомогу учням у вивченні алгебри і геометрії надаю спеціальні прилади, які моделюють математичні поняття, задачі, графічні зображення. До них належать: магнітна дошка з координатною сіткою, переносна магнітна дошка, комплект кривих для магнітної дошки, магнітні прилади «Вимірювання площ», «Частини цілого і дроби» тощо. Для проведення лабораторних робіт з математики потрібний набір моделей для вимірювання довжин, площ і об'ємів тіл.
Поширеним засобом наочності є математичні таблиці. Здебільшого їх виготовляють у школі учні й вчителі.
Кабінет математики в школі
Кабінет має бути обладнаний столами для учнів і вчителя, класною дошкою, в яку можна вмонтувати магнітну дошку з нанесеною на неї системою координат. У деяких кабінетах математики є ще одна дошка для проведення фронтальної роботи, яку розміщено вздовж однієї зі стін кімнати. Шафи для наочних посібників, приладів, таблиць, бібліотечки та картотеки навчальної, методичної, науково-популярної літератури з математики та дидактичних матеріалів, технічні засоби навчання розміщують позаду учнівських столів. Відповідно до результатів новітніх досліджень лабораторій шкільного навчального обладнання не рекомендується розміщувати наочні та інші матеріали па бічних стінах кабінету, щоб не відвертати увагу учнів під час проведення уроку.
До комплекту навчального обладнання з математики мають входити технічні засоби навчання (кінопроектор, діапроектор, епідіаскоп, графо-проектор (кодоскоп), магнітофон, телевізор) і пристосування для їх використання (екран, зашторювання, підставки для апаратури), а також діафільми, кінофільми, діапозитиви, кодопозитиви до них.
Кабінет математики має бути обладнаний сучасними обчислювальними засобами — калькуляторами. Уроки з використанням персональних комп'ютерів можуть проводитись у спеціально обладнаних кабінетах інформатики.
Математичний кабінет крім навчального обладнання доцільно оформити портретами видатних математиків, цікавим матеріалом щодо застосування математики у повсякденному житті, народному господарстві, в науці.
Для успішного навчання математики в шкільних кабінетах мають бути дидактичні матеріали, методичні розробки, зразки оформленим екзаменаційних робіт тощо. Набори варіантів самостійних і контрольних робіт, тестів, роздавальний матеріал, конспекти уроків, розробки окремих тем вчитель повинен накопичувати упродовж усього періоду своєї роботи. Це потрібний матеріал для узагальнення і поширення передового педагогічного досвіду.
Використання інформаційно-комунікаційних технологій навчання математики
Основою програмного забезпечення технологій комп'ютерного навчання (ТКІІ) є навчальні програми: від найпростіших контролювальних програм до складних навчальних систем з елементами штучного інтелекту. ЇКН можуть мати різний ступінь розвиненості компонентів своїх структур: моделей дисциплін (чому вчити), моделей управління (як вчити), моделей тих, хто навчається (кого вчити).
Можливі найрізноманітніші застосування ЕОМ у вивченні математики. Під час розв'язування обчислювальних задач, побудови діаграм, графіків залежностей між величинами. У курсі алгебри основної школи ефективним є використання персональних комп'ютерів.
Широкі можливості персональний комп'ютер має як тренажер і контролювальний засіб для формування навичок і умінь виконання тотожних перетворень різних виразів, розв'язування рівнянь і нерівностей упродовж вивчення всього шкільного курсу математики.
Заслуговує на увагу комплексне використання традиційних засобів навчання, зокрема засобів наочності (таблиці, моделі), і СІТН.
16. Діагностика результатів навчання, рівні засвоєння, контроль знань.
Діагностика - це пояснення всіх обставин проходження дидактичного процесу, точне визначення результатів останнього. Вирізняють діагностування навченості, тобто наслідків досягнутих результатів, і навчаємості. Навченість розглядається також, як досягнутий на момент діагностування рівень реалізації наміченої мети. Метою дидактичного діагностування є своєчасне виявлення, оцінювання і аналіз протікання навчального процесу у зв'язку з продуктивністю останнього. Діагностування включає в себе контроль, перевірку, оцінювання, накопичення статистичних даних, їх аналіз, виявлення динаміки, тенденцій, прогнозування подальшого розвитку дій. Контролювання, оцінювання знань, умінь учнів включається в діагностування як необхідні складові частини.
Мета перевірки - визначення рівня, якості навченості учня і обсягу навчальної праці останнього.
Основою для оцінювання успішності учнів є підсумки (результати) контролю. Враховуються при цьому як якісні, так і кількісні показники роботи учнів. Процес навчання математиці не може бути ефективним без постійного оберненого зв'язку (учень-учитель), що дає учителю інформацію про рівні засвоєння матеріалу, про знання, вміння і навички учнів, про виникнення у них труднощів, без подолання яких неможливе свідоме і міцне засвоєння шкільного курсу.
Контроль дозволяє здійснити обернений зв'язок і використати його для того, щоб вияснити, чи досягнута мета навчання. Контроль знань і умінь учня передбачає оцінку цих знань, умінь тільки за результатами його особистої навчальної діяльності.
В залежності від того, хто здійснює контроль за результатами діяльності учня, виділяють такі три типи контролю: зовнішній (здійснюється учителем за діяльністю учня); взаємний (здійснюється учнем за діяльністю товариша); самоконтроль (здійснюється учнем за особистою діяльністю).
Контроль виконує наступні функції: виявлення і вимірювання результатів навчання; освітню (навчальну), пов'язану з підвищенням якості засвоєння знань, їх систематизацією, формуванням прийомів навчальної роботи; стимулюючу (розвиваючу), пов'язану з утворенням необхідної основи для стимулюючих змістовних оцінок діяльності учнів, для розвитку пізнавальної активності школярів; виховну, направлену на виховання у кожного почуття відповідальності за результати навчання, на формування пізнавальної мотивації, управління процесом засвоєння знань, умінь, його корекції.
Види, форми та засоби контролю. В залежності від різноманітних основ ділення можна говорити про різноманітні підходи до вказання видів контролю. Якщо в процесі контролю основну увагу приділити діяльності суб'єкта, який контролюється, то виділяються: контроль за кінцевим результатом; покроковий контроль (слідкуємо за виконанням окремих операцій, які визначають ту чи іншу дію); контроль пов'язаний з визначенням параметрів діяльності.
За місцем в процесі навчання можна виділити слідуючи види контролю знань і вмінь учнів: попередній; поточний (здійснюється в ході процесу навчання школярів); тематичний; підсумковий за курсом навчання. Способи контролю знань і вмінь школярів: письмовий, усний, практичний (зв'язаний з виконанням різного роду графічних і практичних робіт).
18. Освітні технології навчання (технологія різнорівневого навчання; на основі системи ефективних уроків; укрупнення дидактичних одиниць).
Ефективні уроки.
Особливості методики. Основні риси технології високопродуктивного, результативного уроку:
створення і підтримування високого рівня пізнавального інтересу і самостійної розумової активності учнів;
економне і доцільне використання часу уроку;
застосування раціональних методів і засобів навчання;
формування і тренінг способів розумової діяльності учнів;
принцип міцності засвоєння знань;
вклад в формування і розвиток особистості учня, тобто навчання повинно сприяти новоутворенням особистості в розвитку розуму, волі, почуттів, ставлення до дійсності;
високий позитивний рівень міжособистних відношень учителя і учня;
об'єм і міцність одержаних школярами на уроці знань, умінь і навичок.
Укрупнення дидактичних одиниць
П.М. Ерднієв обгрунтував ефективність укрупненого введення нових знань, яке дозволяє: застосовувати узагальнення в поточній навчальній роботі на кожному уроці; виявляти більше логічних зв'язків в матеріалі: виділяти головне і суттєве в більшій дозі матеріалу; розуміти значення матеріалу в загальній системі ЗУН; виявляти більше міжпредметних зв'язків; більш емоційно подати матеріал; зробити більш ефективним закріплення матеріалу.
Концептуальні положення.
Поняття "укрупнення одиниці засвоєння" досить загальне, його можна подати як інтеграцію підходів до навчання:
сумісно і одночасно вивчати взаємопов'язані дії, операції, функції, теореми і т.п. (зокрема, взаємообернені);
забезпечення єдності процесів складання і розв'язування задач (рівнянь, нерівностей і ін.);
розглядати в взаємопереходах визначені і невизначені завдання (зокрема, деформовані вправи);
перетворювати структуру вправи, що створює умови для протиставлення початкового і перетвореного завдання;
5) виявляти складну природу математичного знання, досягати системності знань;
6) принцип доповняльності в системі вправ (розуміння досягається в результаті міжкодових переходів образного і логічного в мисленні; свідомого і підсвідомого компонентів).
Укрупнена дидактична одиниця - УДО - це локальна система понять, об'єднаних на основі смислових логічних зв'язків і утворююча цілісно опановану одиницю інформації.
Навчання будується за наступною схемою:
стадія засвоєння недиференційованого цілого в його першому наближенні;
виділення в цілому елементів і їх взаємовідношень;
формування на базі засвоєння елементів і їх взаємовідношень більш досконалого і точного цілісного образу.
Особливості змісту. Єдиний підручник "Математика", в якому широкого використовуються умови по аналогії, вправи приводяться по кожному логічно завершеному параграфу (уроку, заняттю).
Учням пропонується: вивчати одночасно взаємно обернені дії і операції; порівнювати протилежні поняття, розглядаючи їх одночасно; зіставляти споріднені і аналогічні поняття; зіставляти етапи роботи з вправами, способи розв'язування.
Отже, головна особливість змісту технології П.М.Ерднієва є перебудова традиційної дидактичної структури матеріалу внутрі навчального предмету, а в деяких випадках і внутрі споріднених навчальних предметів.
Особливості методики. Ключовий елемент технології УДО - це вправа - тріада, елементи якої розглядаються на одному занятті: а) початкова (вихідна) задача; б) її перетворення; в) узагальнення.
Досвід навчання на основі укрупнення одиниць засвоєння показав, що основною формою вправи повинно бути багатокомпонентне завдання, яке утворюється з декількох логічно не споріднених, але психологічно об'єднаних в деяку цілісність частин
Набір визначених вправ, сконструйованих на основі принципу укрупнення, в чіткій їх послідовності забезпечує міцність і свідомість засвоєння знань. В технології УДО використовуються одночасно всі коди, які несуть математичну інформацію: слово, малюнок (креслення), символ, число, модель, предмет, фізичний дослід.
Рівневі навчання.
Цільові орієнтири: Навчання кожного на рівні його можливостей. Пристосування (адаптація) навчання до особливостей різних груп учнів.
Особливості змісту. Наявність стандартів загальноосвітніх областей, які складаються із двох рівней вимог: а) до змісту освіти, який школа зобов'язана надати учню; б) до змісту освіти, який школа повинна зажадати від учня, і засвоєння якого є мінімально обов'язковим для учня.
В зв'язку з цим рівнева диференціація навчання передбачає:
наявність базового обов'язкового рівня загальноосвітньої підготовки, який повинен досягнути учень;
базовий рівень є основою диференціації і індивідуалізації вимог до учнів;
базовий рівень повинен бути реальним для виконання всіма учнями;
система результатів, які повинні досягнути учні з базового рівня, повинна бути відкритою (учень знає, що від нього вимагають);
поряд з базовим рівнем учням надається можливість підвищеної підготовки, яка визначається глибиною оволодіння змістом навчального предмету.
Особливості методики. Особливостями методики викладання є: блочне подання матеріалу:
робота з малими групами на декількох рівнях засвоєння;
наявність навчально-методичного комплексу: банк завдань обов'язкового рівня, система спеціальних дидактичних матеріалів, виділення обов'язкового матеріалу в підручниках, завдань обов'язкового рівня в збірниках.
20. Технологія модульного навчання математики (проблемно-модульне навч., модульно-розв. система навч., семестрово-блочна залікова технологія навчання).
Назва "Модульне навчання" зв'язано з міжнародним поняттям "модуль", одне із значень якого - функціональний вузол. В педагогіці модуль - це функціональний вузол навчально-виховного процесу, довершений блок дидактично адаптованої інформації. Оскільки подібне визначення не відповідає критеріям науковості, то впроваджується термін "навчальний модуль".
Навчальний модуль - це цілісна функціональна одиниця, що оптимізує психосоціальний розвиток учня і вчителя. Основними психолого-дидактичними засобами реалізації навчального модуля є педагогічно адаптована система понять у вигляді сукупності системи знань, системи норм і системи цінностей. Крім того це - поетапне суб'єктивне відкриття учнем під паритетним впливом учителя цієї системи у ході пошукової
Теорія модульного навчання базується на специфічних принципах, тісно зв'язаних з загально-дидактичними. Вони виступають як керівні ідеї модульного навчання. Введенні наступні принципи:
модульності;
виділення із змісту навчання відокремлених елементів;
динамічності;
дієвості, оперативності знань і їх системності;
гнучкості;
увідомленної перспективи;
різнобічності методичного консультування;
паритетності.
В модуль входить програма навчальних дій для досягнення наміченої цілі, а учень забезпечується "путівником" для досягнення близьких, середніх і віддалених перспектив.
На початку кожного модуля потрібно конкретно вказувати інтегровані цілі навчання, які ведуть до результатів діяльності.
Основний засіб модульного навчання - модульна програма, яка складається з окремих модулів.