7. Види топологічних просторів. Топологія, індукована метрикою.

Топологічні простори є хаусдорфовими, компактними, зв’язними чи незв’язними.

Топологічний простір наз. хаусдорфовим, якщо виконується наступна аксіома:

А: Для будь-яких 2-х різних точок простору R існують околи, які містять ці точки не перетинаються.

Наприклад, хаусдорфовим є метричний простір. Дійсно, нехай а і b різні точки, а . Кульовий окіл і очевидно не перетинаються – не мають спільних точок.

Підпростір хаусдорфового простору є хаусдорфовим простором.

Топологічний простір R наз. незв’язним, якщо існує 2 непорожні множини M і N таких, що M N= і M N=R. Простір R наз. зв’язним, якщо він не є незв’язним.

Із цього означення випливає, що кожна з множин і є доповненням до іншої, тому кожна із них є одночасно відкритою і замкненою множиною.

Непорожня відкрита зв’язна множина М R наз. областю.

1. Властивість топологічного простору бути зв’язним є топологічним інваріантом.

2. Властивість множини Х топологічного простору бути зв’язною є топологічним інваріантом.

Т:. Сегмент є зв’язним топологічним простором.

Довед. (від супротивного). Припустимо, що існують відкриті множини U і V, які задовольняють умовам U V=І, U V= .

Розгл. скалярну ф-цію скалярного аргументу f: , яка визначається так: f(x)=1, якщо х U і f(x)=-1, якщо х V. Ф-ція f(x) неперервна на І ф-ція. Справді, нехай х₀ будь-яка точка відрізка, припустимо, що х₀ U. Так як U область, то за означенням існує окіл (кругова область) , що цілком належить множині U. Звідси слідує, що у всіх точках інтервалу значення ф-ції дорівнює 1, тобто ф-ція неперервна в точці х₀. Ми дійшли до суперечності з теоремою Коші про проміжне значення.

Простою дугою називають гомеоморфний образ сегменту.

3. Проста дуга є зв’язним топологічним простором.

Топологічний простір, будь-які 2 точки якого можна з’єднати простою дугою називається лінійно зв’язним.

4. Лінійно зв’язний топологічний простір(множина тополог. просторів)є зв’язним.

Доведення. (від супротивного)

R – лінійно зв’язний топологічний простір, для якого існують непорожні множини M і N, які задовольняють умовам M N=R і M N= . Нехай a M, b N, а L – проста дуга, яка з’єднує ці 2 точки. В силу співвідношень L M N, L M = , L N= , і M N L= , множина L незв’язна, що суперечить властивості 3.

5. Кругове кільце не гомеоморфне кругу Q.

Кругове кільце S є множиною точок евклідової площини ТЕ₂, які розміщені між двома концентричними колами С₁ і С₂. Точки, які лежать на С₁ чи на С₂ до S не належать. Кола С₁ і С₂ разом утворюють межу множини S.

Щоб встановити, що множини Q і S не гомеоморфні, міркуємо так: якщо ми з’єднаємо відрізком дві точки, які належать відповідно колам С₁ і С₂ і лежать на одному і тому ж радіусі, і виключимо з S всі точки цього відрізка, то за властивістю 4 множина залишиться зв’язною. Якщо ж ми в Q з’єднаємо відрізком дві будь-які точки його межі С, то після виключення з Q всіх точок цього відрізка множина розпадеться на дві компоненти. Оскільки зв’язність є топологічним інваріантом, то звідси слідує, що множини Q і S не гомеоморфні.

Відкритим покриттям топологічного простору (R, Ф) називається сукупність множин , якщо .

Топологічний простір R наз. компактним, якщо із всякого його відкритого покриття можна виділити кінцеве відкрите покриття.

Відкритим покриттям множини М топологічного простру R наз. сукупність відкритих множин простору R, якщо М .

Для того, щоб М була компактною множиною, необхідно і достатньо, щоб з будь-якого відкритого покриття множини М в R можна було виділити кінцеве покриття.

Для E_n необхідною і достатньою умовою компактності множини є її замкнутість і обмеженість.

Властивість топологічного простору бути компактним є топологічним інваріантом.

Важливим класом просторів, в яких легко може бути задана топологія, є метричні простори (R, ).

Покажемо, що метричні простори є окремим випадком топологічних просторів; точніше, покажемо, що задання метрики в множині R дозволяє природним чином визначити топологічну структуру в просторі (R, ). Для цього достатньо в (R, ) ввести поняття відкритої множини так, щоб були виконані аксіоми I-III.

Кульовим r-околом точки а простору (R, ) назвемо множину всіх точок простору (R, ), що задовольняють умову (позначення: U(а,r)).

Відкритою множиною простору (R, ) назвемо або порожню множину, або будь-яку непорожню множину М , що задовольняє умову: для кожної точки а M існує хоч би один кульовий окіл точки а, що цілком належить множині М. Визначена таким чином топологія Ф наз. топологією, що індукується в (R, ) метрикою або просто топологією метричного простору (R, ).

З наведеного визначення випливає, що в топологічному просторі (М, ) порожня множина і сімейство куль {U (а, r )}, де а пробігає все R, а r — всю сукупність додатних чисел, утворює базис простору.

Розглянемо приклади.

1) У метричному просторі (R, ) будь-який кульовий—r - окіл U(а, r) є відкритою множиною. Відкритими множинами будуть також перетини кінцевої безлічі кульових околів і об'єднання будь-якої скінченної або нескінченної множини кульових околів.

2)В евклідовому арифметичному просторі Е₁ інтервал (а,в) є відкритою множиною, а сегмент [а, в] не є відкритим множиною.

Останнє твердження виходить з тієї обставини, що будь-який r — окіл точки а (або в) містить точки, що не належать сегменту [а, в].

Введемо поняття підпростору метричного простору (R, ). Для цього відмітимо, що будь-яка множина М метричного простору (R, ) сама є метричним простором (М, ), тому метрикою на (М, ) індукується топологічна структура Ф . Таким чином, розглядаючи простори (R, ) і (М, ) як топологічні простори, можна вважати, що (М, ) є підпростором простору (R, ).