23. Суть сучасного аксіоматичного методу. Основні вимоги до системи аксіом. Поняття про інтерпретацію системи аксіом.

Якщо проаналіз. геометр. матеріал, то можна побачити, що він є строго викладеним матем. формулювань і їх доведень. Причому одні матем. твердження не доводяться, а інші доводяться. Для доведення матем. (геометр.) тверджень маємо право застос. тільки попередні, тобто для довед. 5-го твердж. маємо 4-и попередні, для 2-го лише одне, для 1-го немає жодних. Тому деякі твердж. прийм. без довед. Їх наз. аксіомами.

Аксіома – це твердження, істинність якої приймається без доведень.

Твердження, в істинності якого переконуються шляхом доведення наз. теоремою.

Аналогічно виглядає справа із означеннями геометричних понять. Означенням геометр. поняття наз. розкриття суті даного поняття через інші геометричні поняття.

Для означ. 3-го поняття маємо 2-а поняття, для 1-го не маємо жодного. Тому виникла необхідність приймати деякі матем. поняття без означень. Вони наз. основними поняттями. Основні поняття поділяються на: 1) основні об’єкти, 2) основні співвідношення між основними об’єктами.

Таким чином, для побудови геометричної теорії потрібно:

1. скласти список основних понять,

2. скласти список аксіом,

3. на основі законів формальної математичної логіки доводимо сформульовані твердження, на основі попередніх.

Зауважимо, що кожне наступне твердження повинно випливати тільки з попередніх. В цьому і полягає суть сучасного аксіоматичного методу.

На 1-ий погляд, виглядає так, що при створенні системи аксіом автор вільний. Але це не так. До кожної сист. аксіом ставляться певні психолого–педагогічні та наукові вимоги.

Суть психолого–педагогічних вимог полягає в тому, щоб система аксіом містила мінімум аксіом, і кожна аксіома, щоб була якнайбільш сильною (щоб можна було отримати найбільше наслідків).

Наукові вимоги полягають в наступному:

• система аксіом повинна бути несуперечливою,

• система аксіом повинна бути незалежною,

• система аксіом повинна бути повною.

Тільки несуперечлива система аксіом має наукову цінність, може бути покладена в основу побудови теорії.

Система аксіом наз. несуперечливою, якщо на основі даної системи не можна довести два взаємо протилежних твердження. Для того, щоб довести несуперечливість даної системи аксіом потрібно побудувати інтерпретацію або модель даної системи.

Під моделлю системи аксіом розуміють сукупність основних понять певного змісту, на яких виконуються всі аксіоми даної системи.

Сист. аксіом наз. незалежною, якщо кожна її аксіома є незалежною. Аксіома наз. незалежною від решти аксіом, якщо вона не випливає із решти аксіом даної системи.

Для того, щоб довести незалежність даної системи аксіом необхідно довести незалежність кожної аксіоми. Для того, щоб довести незалежність аксіоми А від решти аксіом системи потрібно твердження аксіоми замінити протилежним і довести несуперечливість системи аксіом, в якій замінена на .

Суть повноти полягає в тому, щоб аксіом даної системи вистачало для побудови даної теорії. Щоб довести повноту системи аксіом потрібно побудувати будь-які дві її моделі і довести їх ізоморфізм. Дві системи аксіом наз. ізоморфними, якщо в теорії побудованій на одній системі аксіом виконуються всі твердження другої системи.