- •Диференціальні рівняння з частинними похідними першого порядку. Звязок з системою звичайних диференціальних рівнянь у симетричній формі.
- •Класифікація диференціальних рівнянь з частинними похідними іі порядку для випадку двох і багатьох незалежних змінних.
- •Види топологічних просторів. Топологія, індукована метрикою.
- •Поняття метричного простору. Простір ізольованих точок. Метричні простори r1, r(n), c[a,b].
- •Граничні точки, точки дотику, замикання множини. Сепарабельні простори. Послідовність в метричному просторі. Границя послідовності.
- •Стискаючі відображення, їх неперервність. Теорема Банаха, її геометричне тлумачення.
- •Поняття лінійного простору. Приклади. Лінійна залежність і лінійна незалежність елементів. Нескінченно - вимірні простори. Підпростори.
- •Означення і приклади нормованих просторів. Означення евклідових просторів. Нерівність Буняковського - Коші.
- •Означення і приклади лінійних операторів. Неперервність і обмеженість. Норма операторів. Сума і добуток операторів. Обернений оператор, оборотність.
- •Бінарні відношення. Рефлексивні, симетричні, транзитивні бінарні відношення. Класи еквівалентності, фактор–множина.
- •Бінарні відношення порядку, його властивості. Мінімальні та максимальні елементи. Впорядковані множини.
- •Групи. Приклади груп. Основні властивості груп.
- •Ізоморфізм та гомоморфізм груп. Його властивості.
- •Кільце, приклади кілець. Основні властивості кілець. Ізоморфізм та гомоморфізм груп
- •Поле. Приклади полів, основні властивості полів. Ізоморфізм та гомоморфізм полів.
- •Поле комплексних чисел. Комплексні числа, алгебраїчна форма комплексних чисел.
- •Неперервні відображення топологічних просторів і їх властивості. Гомеоморфізм.
- •Теорема Ейлера для многогранників.
- •Суть сучасного аксіоматичного методу. Основні вимоги до системи аксіом. Поняття про інтерпретацію системи аксіом.
- •Точково–векторна аксіоматика Вейля трьохвимірного евклідового простору і її несуперечливість.
- •Вимірювання многокутників. Площа многокутника і її аксіоми. Теорема існування і єдиності.
- •Рівноскладеність і рівновеликість многокутників і многогранників.
- •Аксіоматика площини Лобачевського. Абсолютна геометрія. Паралельні напрямлені прямі на площині Лобачевського і їх властивості.
- •Взаємне розміщення прямих на площині Лобачевського. Теорема про існування розбіжних прямих і наслідки з неї. Критерій розбіжності двох прямих.
- •Трикутники на площині Лобачевського.
- •Незалежність аксіоми паралельності від решти аксіом д. Гільберта.
Неперервні відображення топологічних просторів і їх властивості. Гомеоморфізм.
Пригадаємо найпростіше визначення пов’язане з відображенням.
Нехай X і Y – довільні множини, а (1) відображ. множини X на множину Y.
Позначимо через множину образів всіх точок множини X. Очевидно .
Якщо ,то наз. відображення множини X на множину Y.
Відображення множини X на множину Y наз. взаємнооднозначним, якщо різні точки переходять при цьому відображенні в різні точки. Очевидно, що взаємнооднозначне відображення (1) допускає оборотність, тобто існує єдине відображення таке, що і , де і – тотожні відображення множин X і Y.
Відображення називається оборотним для і записується .
Нехай (1) – дане відображення, а N – підмножина множини Y.
Повним прообразом множини N будемо наз. множину всіх точок в X , образи яких при відображенні (1) містяться в N.
Зауважимо, що повний прообраз множини може бути пустою множиною.
Якщо М – точка, то її новий прообраз може бути пустою множиною, однією точкою і множиною, що складається більше як з однієї точки. Приведенням відображ. (1) наз. таке відображення , яке визначається так: при будь-якому маємо . Очевидно, якщо = Y, то відображення і співпадають.
Нехай дано відображення (1) і множина . Відображення наз. звуження відображення (1), якщо для всіх маємо .
В топології важливу роль відіграє неперервне відображення, яке визначається так: Нехай X і Y – топологічні простори. Відображення (1) наз. неперервним в , якщо для кожного околу площини існує такий окіл точки , що .
Відображення (1) наз. неперервним на множині , якщо воно неперервне в кожній точці множини М.
Відображення (1) наз. неперервним, якщо воно неперервне на множині X.
Теор.: Для того, щоб відображення (1) було неперервним, необхідно і достатньо, щоб повний прообраз будь якої відкритої множини був множиною відкритою.
Доведення: Нехай (1) – неперервне відображення. -- довільна відкрита множина в Y, а N – її повний прообраз. Доведемо, що N – відкрита множина.
Необх. Для цього достатньо показати, що кожна точка цієї множини є внутрішньою. Оскільки , то – окіл точки . В силу неперервності відображ. (1) існує окіл точки x, такий, що . Звідси , що , а значить x – внутрішня точка.
Достат. Нехай x – довільна точка множини X, - образ цієї точки, а - будь який окіл точки . Якщо - повний образ множини , то відкрита множина.
Очевидно, - окіл точки x, крім того . Отже, відображ. (1) неперервне в точці x.
Наслідок. Для того, щоб відображення (1) було неперервним, необхідно і достатньо, щоб повний прообраз будь якої замкненої множини був множиною замкненою.
На основі теореми легко доводяться наступні твердження:
Нехай X, Y, Z – топологічні простори. Якщо і неперервні, то – неперервне.
Якщо відображення (1) неперервне, то для будь якої M X відображення :M Y- неперервне. Це випливає з (1), якщо враховувати, що fМ = fe, де e: відображення, при якому образ кожної точки із М співпадає із самою точкою.
Приведення відображення (1) неперервне тоді і тільки тоді, коли відображення (1) неперервне.
Нехай - відображення при якому образ кожної точки із співпадає з самою точкою. Очевидно, що , тому якщо неперервне, то з (1) слідує, що - неперервне. Обернене твердження очевидне.
Нехай Х і У–тополог. простори. Відображ. (1) простору Х на простір У наз. топологічним, якщо воно взаємнооднозн. і крім того відображ. і -1 : неперервні.
Топологічні відображення точок наз. гомеоморфізмами (назва від грецьких слів «омео» - однаковий і «морф»- форма. Приклади гомеоморфізмів:
1) тотожнє відображ. при якому кожна точка множини Х переход. сама в себе.
2) Нехай Х та У – числові інтервали, , , де a і b – дійсні числа, . Очевидно х, у – метричні простори, значить тотожні. Легко перевірити, що відображення у = (b-a)х + а є топологічним. З поняття гомеоморфізму слідує:
Якщо відображ. є тополог., то відображ. також є тополог.
Якщо і є гомеоморфізмами, то є гомеоморфізмом.
Топологічний простір Х наз. гомеоморфним топологічному простору Y, якщо існує такий гомеоморфізм, при якому Х переходить в Y.
Із властивостей 1,2 слідує, що відношення гомеоморфності топологічних просторів рефлексивне, симетричні і транзитивне, тобто є відношенням еквівалентності.
Поняття гомеоморфізму легко може бути застосованим на множині точок, що належать топологічним просторам. Нехай R1 і R2 – топологічні простори, а , - довільні множини точок цих просторів.
Відображ. (1) наз неперервним в точках х, якщо для будь якого околу точки в R2 існує окіл точки х в R1 такий, що образи всіх точок з належать околу .
Відображ. (1) наз. неперервним, якщо воно неперервне в усіх точках множини Х.
Взаємнооднозначне відображення (1) множини Х на множину Y наз. топологічним або гомеоморфним, якщо відображення (1) і неперервні.
Якщо існує гомеоморфізм множини Х на множину Y, то множини Х та Y наз. гомеоморфічними. Щоб з’ясувати чи дві множини гомеоморфні, достатньо знайти хоча б одне топологічне відображення Х на Y. Якщо, наприклад, при топологічному відображенні маємо , то Х і Y гомеоморфні.
Складніше з’ясувати, що дві множини негомеоморфні. Тут бувають корисними топологічні інваріанти.
Топологічним інваріантом (тополог. властивістю) наз. будь-яку властивість, інваріантну відносно будь-якого топологічного відображення.
Властивість множини бути відкритою (або замкнутою) є топологічний інваріант.
Якщо у множини Х деякий топологічний інваріант присутній, а у множини Y той же інваріант відсутній, то множини Х і Y не можуть бути гомеоморфним.
Гомеоморфні множини топологічно інваріантні, з точки зору топології вони не відрізняються одна від одної. Топологічні перетворення (відображення на себе) множини R очевидно утворюють групу.