Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
шпори з вищої математики.doc
Скачиваний:
2
Добавлен:
07.09.2019
Размер:
2.47 Mб
Скачать
  1. Теорема Ейлера для многогранників.

Многогранником наз. тіло, обмежене з усіх сторін площинами. Частини площини, що обмежують многогранник наз. його гранями. Кожна грань, будучи обмежена лініями перетину з сусідніми гранями являє собою многокутник. Сторони і вершини многогранника наз. відповідно ребрами і вершинами многогранника, причому ні одне з ребер не є спільним ребром більше ніж двох граней і ні одна з вершин не є спільною вершиною кількох многогранних кутів, утворених гранями многогранника.

Многогранник наз. опуклим, якщо він лежить по один бік від площини кожної з його граней. Гранями опуклого многогранника є опуклі многокутники.

Якщо розглядати грані многогранника як плоскі області, то многогранник є деякою поверхнею в просторі. Дана поверхня є замкненою і зв’язною (тобто не розпадається на дві замкнені поверхні). Найпростішими прикладами многогранників є призми і піраміди.

Родом многогранника наз. рід його поверхні (Межі цього многогранника).

Многогранник наз. простим, якщо його межа — проста многогранна поверхня.

Якщо многогранник має ту властивість, що віднявши від нього одну грань, ми дістанемо однозв’язну поверхню, то він наз. многогранником нульового роду.

Всякий опуклий многогранник є многогранником нульового роду. Ця властивість виконується також для багатьох неопуклих многогранників (наприклад для призм, в основі яких лежать неопуклі многокутники), але не для всіх. Поверхня многогранника нульового роду гомеоморфна сфері.

Нехай дано деяке кліткове розбиття поверхні S, що має α0 вершин, α1 ребер і α2 кліток. Число χ(S)= α012 наз. ейлеревою характеристикою поверхні S (воно однакове для всіх її кліткових розбиттів).

Теор. Ейлера для многогранників. В усякого многогранника нульового роду сума числа вершин і числа граней на дві одиниці більша від числа його ребер, тобто α02 = α1 +2 або α012=2, де α0–число вершин, α1–число ребер, α2–число граней многогранника.

Многогранник 0-ого роду наз. топологічно правильним, якщо всі його грані мають одне і те ж саме число вершин, а многогранні кути—одне і те ж саме число граней.

Приклади топологічно правильних многогранників

Нехай Р – топологічно правильний многогранник. Кожна його грань має n вершин, а кожен многогранний кут при його вершинах містить g граней. Оскільки кожне ребро є спільною стороною двох його граней, а кожна грань містить n ребер, то 2 =2α1. (1)

Кожна вершина є спільним кінцем g ребер, 0 =2α1. (2). Із (1), (2) матимемо: , .

Оскільки Р – частковий випадок многогранника нульового роду, то для нього справедлива теорема Ейлера: + - =2, ( + -1)=2. Очевидно, що + >1. (3)

Отже, ми бачимо, що g≥ 3, n≥ 3. >1- ≥1- = . Звідси g<6, n<6.

Розглянемо такі випадки:

1) g=n=3, α0 =4, α1=6, α2=4 — тетраедр.

2) g=3, n=4, α0 =8, α1=12, α2=6 — гексаедр (шестигранник, куб).

3) g=3,n=5, α0 =20, α1=30, α2=12 — додекаедр (дванадцятигранник).

4) g=4,n=3, α0 =6, α1=12, α2=8 — октаедр (восьмигранник).

5) g=5,n=3, α0 =12, α1=30, α2=20 — ікосаедр (двадцятигранник).

Усі інші комбінації (g=4,n=5; g=5,n=4; g=n=4; g=n=5) суперечать умові (3). Таким чином, існує всього 5 типів топологічно правильних многогранників.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.