22. Теорема Ейлера для многогранників.

Многогранником наз. тіло, обмежене з усіх сторін площинами. Частини площини, що обмежують многогранник наз. його гранями. Кожна грань, будучи обмежена лініями перетину з сусідніми гранями являє собою многокутник. Сторони і вершини многогранника наз. відповідно ребрами і вершинами многогранника, причому ні одне з ребер не є спільним ребром більше ніж двох граней і ні одна з вершин не є спільною вершиною кількох многогранних кутів, утворених гранями многогранника.

Многогранник наз. опуклим, якщо він лежить по один бік від площини кожної з його граней. Гранями опуклого многогранника є опуклі многокутники.

Якщо розглядати грані многогранника як плоскі області, то многогранник є деякою поверхнею в просторі. Дана поверхня є замкненою і зв’язною (тобто не розпадається на дві замкнені поверхні). Найпростішими прикладами многогранників є призми і піраміди.

Родом многогранника наз. рід його поверхні (Межі цього многогранника).

Многогранник наз. простим, якщо його межа — проста многогранна поверхня.

Якщо многогранник має ту властивість, що віднявши від нього одну грань, ми дістанемо однозв’язну поверхню, то він наз. многогранником нульового роду.

Всякий опуклий многогранник є многогранником нульового роду. Ця властивість виконується також для багатьох неопуклих многогранників (наприклад для призм, в основі яких лежать неопуклі многокутники), але не для всіх. Поверхня многогранника нульового роду гомеоморфна сфері.

Нехай дано деяке кліткове розбиття поверхні S, що має α₀ вершин, α₁ ребер і α₂ кліток. Число χ(S)= α₀-α₁ +α₂ наз. ейлеревою характеристикою поверхні S (воно однакове для всіх її кліткових розбиттів).

Теор. Ейлера для многогранників. В усякого многогранника нульового роду сума числа вершин і числа граней на дві одиниці більша від числа його ребер, тобто α₀+α₂ = α₁ +2 або α₀-α₁+α₂=2, де α₀–число вершин, α₁–число ребер, α₂–число граней многогранника.

Многогранник 0-ого роду наз. топологічно правильним, якщо всі його грані мають одне і те ж саме число вершин, а многогранні кути—одне і те ж саме число граней.

Приклади топологічно правильних многогранників

Нехай Р – топологічно правильний многогранник. Кожна його грань має n вершин, а кожен многогранний кут при його вершинах містить g граней. Оскільки кожне ребро є спільною стороною двох його граней, а кожна грань містить n ребер, то nα₂ =2α₁. (1)

Кожна вершина є спільним кінцем g ребер, gα₀ =2α₁. (2). Із (1), (2) матимемо: , .

Оскільки Р – частковий випадок многогранника нульового роду, то для нього справедлива теорема Ейлера: + - =2, ( + -1)=2. Очевидно, що + >1. (3)

Отже, ми бачимо, що g≥ 3, n≥ 3. >1- ≥1- = . Звідси g<6, n<6.

Розглянемо такі випадки:

1) g=n=3, α₀ =4, α₁=6, α₂=4 — тетраедр.

2) g=3, n=4, α₀ =8, α₁=12, α₂=6 — гексаедр (шестигранник, куб).

3) g=3,n=5, α₀ =20, α₁=30, α₂=12 — додекаедр (дванадцятигранник).

4) g=4,n=3, α₀ =6, α₁=12, α₂=8 — октаедр (восьмигранник).

5) g=5,n=3, α₀ =12, α₁=30, α₂=20 — ікосаедр (двадцятигранник).

Усі інші комбінації (g=4,n=5; g=5,n=4; g=n=4; g=n=5) суперечать умові (3). Таким чином, існує всього 5 типів топологічно правильних многогранників.