11. Поняття лінійного простору. Приклади. Лінійна залежність і лінійна незалежність елементів. Нескінченно - вимірні простори. Підпростори.

Поняття лінійного простору належить до основних у функціональному аналізі. Множина елементів довільної природи наз. лінійним простором, якщо:

1. На цій множині визначена операція додавання елементів, яка двом елементам і ставить у відповідність третій елемент , який наз. сумою. , .

а) - комутативність. б) - асоціативність. в) .

г) .

2. Визначена операція множення на число (дійсне або комплексне) .

а) - асоціативність; б) ; в) - розподіл. закон;

г) - розподільний закон.

Пр. лінійний простір. 2. : , , , 3. ; ; .

Елементи довільної природи наз. лінійно залежними, якщо існує набір чисел ,серед яких хоч одне відмінне від нуля, що викон. рівність .

Факт лінійної залежності означає, що один із елементів можна виразити як лінійну комбінацію інших елементів: , . Елементи наз. лінійно незалежними, якщо рівність , має місце тоді і тільки тоді, коли всі , .

Пр. Дослідити на лінійну залежність функцій:

1) , , 5 ; ; Залежні. 2) ; ; Незалежні. В лівій частині алгебраїчний многочлен n-того степеня. Має коренів, а нам потрібною щоб він був рівний нулю . Це можливо тільки тоді, коли всі .

Лінійний простір наз. n-вимірним, якщо в ньому існує n лінійно незалежних елементів, а будь-який елемент є вже лінійно залежним. Ці лінійно незалежні елементи звуть базисом даного простору.

Лінійний простір наз. нескінченно вимірним, якщо в ньому існує як завгодно велика кількість лінійно незалежних елементів. Скінченно вимірні простори вивчаються в лінійній алгебрі, а нескінченно вимірні в функціональному аналізі.

1. : , ,…, … - базис. 2. : , ; - базис.

Підпростором лінійного простору наз. множина елементів з простору , якщо з того, що і випливає, що , при всіх і . Всякий простір містить підпростір самого себе і нуль простір. Підпростір який не співпадає з і нуль підпростором наз. власним підпростором . Нехай маємо деяку множину . Лінійною оболонкою даної множини наз. найменший лінійний підпростір з простору , який містить елементи множини .

12. Означення і приклади нормованих просторів. Означення евклідових просторів. Нерівність Буняковського - Коші.

В ФА приходиться мати справу з просторами, які є одночасно лінійними і метричними – нормованими просторами. Нехай маємо лінійний простір .

Простір наз. нормованим, якщо кожному елементу поставлено у відповідність число - норма , яке задовольняє аксіоми:

1. ;

2. , , -дійсні, - комплексні;

3.

Інтерес, до цих просторів викликаний тим, що їх легко метризувати, тобто ввести поняття відстані .

1. ;

2. ;

3. .

Норма елемента - це відстань між ним і нульовим елементом .

Приклади

1. , ;

2. , , - збіжний.

3. , , .

Повні нормовані простори наз. просторами Банаха.

Розгл. простір , його елементами є набори дійсних чисел .

Скалярний добутком двох векторів наз. число .

У довільному лінійному абстрактному просторі поняття скалярного добутку означається аксіоматично. Нехай маємо деякий лінійний простір .

Число наз. скалярним добутком двох елементів, якщо воно задовольняє аксіоми:

1. ;

2. - число;

3. ;

4. , .

Лінійний простір з фіксованим в ньому скалярним добутком наз. евклідовим.

Пр. 1) , . Збіжність ряду випливає з очевидної нерівності . 2. , , .

Виконання всіх аксіом скалярного добутку випливає з властивостей визначеного інтеграла.

1. ; 2. ;

3. .

4. . Якщо , то ; Нехай , доведемо, що . Нехай існує точка , у якій , тоді в силу неперервності функція буде більшою нуля і в деякому околі . Тоді . Суперечність.

Евклідів простір можна зробити нормованим поклавши . Щоб довести це доведемо спочатку лему.

Лема. В евклідовому просторі має місце нерівність: (Коші-Буняковського).

Доведення. Використаємо функцію ,

Отримали квадратний тричлен відносно параметра . ; ; .

Розглянувши конкретні простори і , та знайшовши в них скалярний добуток, норми та , ми отримаємо дві нерівності Коші-Буняковського.

1. , ;

2. ;

3.

Добувши корінь квадратний із обох частин отримаємо: . Нерівність Коші-Бунявського дозволяє ввести поняття косинуса кута між двома абстрактними елементами .

Два елементи і з евклідового простору будемо вважати ортогональними, якщо їх скалярний добуток рівний нулеві.

Система елементів із евклідового простору наз. ортогональною, якщо: , ; , .

Якщо , то така система наз. ортонормованою.

Можна довести, що коли система ортонормована, то вона лінійно незалежна, , тоді і тільки тоді коли . Дійсно розглянемо скалярний добуток , ; , ;

Ортогональна система елементів евклідового простору наз. ортогональним базисом цього простору, якщо найменший лінійний підпростір, який містить ортогональну систему співпадає з усім простором .

Ортонормована система функцій наз. повною в деякому просторі, якщо будь-який елемент з цього простору можна як завгодно точно наблизити лінійною комбінацією базисних векторів у розумінні норми даного простору.