13. Означення і приклади лінійних операторів. Неперервність і обмеженість. Норма операторів. Сума і добуток операторів. Обернений оператор, оборотність.

Нехай є два лінійних простори і . Якщо кожному елементу простору поставлено у відповідність цілком певний елемент із простору , то кажуть, що заданий оператор , який діє у просторі із значеннями в .

Оператор наз. лінійним, якщо для і для будь-яких чисел і виконується рівність . Пр. .

Оператор діє в просторі . Будемо вважати, що і - неперервні. Перевіримо умову лінійності:

З лінійності оператора випливають властивості:

1. ; 2. .

Лінійний оператор наз. неперервним в точці , якщо із збіжності будь-якої послідовності випливає, що відповідна послідовність значень оператора , . Тут збіжність розуміється за нормою даного простору , тоді .

Якщо лінійний оператор неперервний в точці , то він неперервний і в довільній точці довільного простору.

Довед. Розглянемо довільну послідовність і покажемо, що . Розглянемо довільний елемент . Тоді в силу неперервності в . Використаємо лінійність: , тоді .

Лінійний оператор, який діє в лінійному просторі із значеннями в лінійному просторі наз. обмеженим, якщо існує таке число , що для .

Теор. Для того, щоб лінійний оператор був неперервним у будь-якій точці , необхідно і достатньо, щоб він був обмеженим.

Доведення. Необхідність. Дано: - неперервний оператор. Доведемо обмеженість, тобто що , . Припустимо протилежне, оператор необмежений. Це означає, що для

Розглянемо елемент , і оцінимо за нормою , ; , , , тоді в силу неперервності , а з іншого боку , не прямує до нуля, . Суперечність.

Достатність. Дано, що оператор обмежений, тобто , .

Доведемо, що для , . ;

.

Нехай маємо лінійний обмежений оператор: , .

Найменша з компонент , яка фігурує в умові обмеженості наз. нормою оператора і позначається , .

По-іншому, число наз. нормою оператора, якщо для , , .

Приклад. Маємо відображення ,

.

- фіксований вектор.

- змінний вектор.

Знайдемо норму оператора

. . Покажемо, що насправді рівна правій частині. Для цього достатньо знайти елемент , щоб нерівність перетворювалася б в рівність. Розглянемо елемент ,тоді:

.

14. Бінарні відношення. Рефлексивні, симетричні, транзитивні бінарні відношення. Класи еквівалентності, фактор–множина.

Розглянемо 2-і множини і елементів довільної природи.

Прямим (декартовим) добутком 2-ох множин наз. сукупність всіх можливих впорядкованих пар елементів таких, що .

Будь-яка підмножина прямого добутку наз. бінарним відношенням. Бінарні відношення познач. маленькими грецькими буквами .

Бінарне відношення вважається заданим, якщо можна встановити чи належить пара цьому бінарному відношенню. Той факт, що пара належить бінарному відношенню записується так: або ( перебуває у відношенні до ).

Якщо прямий добуток містить - елементів, то всіх бінарних відношень буде .

Бінарні відношення можна задати:

1)Переліком елементів, які йому належать, 2)Графіком, 3)Стрілками (записуємо множини А і В і стрілками з’єднуємо ті елементи, які перебувають і відношенні ). 4)Формулою. Наприклад, функція Діріхле: , 5)Словесно, 6)Графом.

Властивості бінарних відношень

Розглянемо прямий добуток .

Бінарне відношення , що визначене на наз. рефлексивним, якщо .

Бінарне відношення , що визначене на наз. симетричним, якщо .

Бінарне відношення , що визначене на наз. транзитивним, якщо .

Крім цих властивостей відношення мають ще такі властивості:

Бінарне відношення , що визначене на наз. антирефлексивним, якщо .

Бінарне відношення , що визначене на наз. антисиметричним, якщо .

Бінарне відношення , яке є рефлексивним, симетричним, транзитивним наз. відношенням еквівалентності.

Нехай - відношення еквівалентності, яке визначене декартовим добутком . Зафіксуємо в елемент .

Класом еквівалентності з твірним елементом наз. множина елементів з , які перебувають у відношенні до елемента .

Так як відношення еквівалентності, то воно одночасно і рефлексивне, і симетричне, і транзитивне. Із означення випливають такі властивості:

1. Кожний елемент належить своєму класу еквівалентності .

2. Різні класи еквівалентності не перетинаються.

Розбиттям множини наз. така сукупність її підмножин, які не перетинаються і об’єднання яких співпадає з множиною.

Сама сукупність підмножин розбиття наз. фактор – множиною, а процес знаходження множин наз. факторизацією множини.

Таким чином, множина класів еквівалентності є фактор – множиною і є спеціальним розбиттям множини .