26. Рівноскладеність і рівновеликість многокутників і многогранників.

Два многокутники і називаються рівноскладеними, якщо їх можна розкласти на однакову кількість відповідно рівних фігур. – фігури перебувають у відношенні рівноскладеності.

Два многокутники і називаються рівновеликими, якщо вони мають однакові площі. .

На основі вище вказаних понять в школі ґрунтується метод розкладання обчислення площ многокутників.

Теорема (1-а теорема Байї–Гервіна): Якщо два многокутники є рівноскладеними, то вони є рівновеликими.

Доведення. Маємо два многокутники: , , , .

На прикладі показати, як розбив. напр. трапеція. див. ст.199.

Теор. Дена – Кагана. Нехай - міри двогранних кутів многогранника , - міри двогранних кутів многогранника . Для того, щоб многогранники і були рівно складеними або рівно доповнюваними(якщо можна доповнити до рівно складених відповідно рівними многогранниками), необхідно, щоб існували такі натуральні числа і таке ціле число , що , де - міра прямого кута.

Із теор. Дена – Кагана. Випливає, що існують рівновеликі многогранники, які не рівноскладені і не рівнодоповнювані.

27. Аксіоматика площини Лобачевського. Абсолютна геометрія. Паралельні напрямлені прямі на площині Лобачевського і їх властивості.

Геометрія побудована на аксіомах належності, порядку, рівності і неперервності наз. абсолютною геометрією. Щоб охарактеризувати звичайну елементарну геометрію (евклідову геометрію) необхідно ввести ще одну аксіому – аксіому паралельності: нехай а – довільна пряма, А – точка, що не лежить на ній. В такому випадку в площині, яка визначається прямою та точкою існує не більше однієї прямої, яка проходить через точку А і не перетинає пряму а.

Аксіоматика площини Лобачевского відрізняється від аксіоматики геометрії Евкліда в одному суттєвому пункті. В цій геометрії містяться всі чотири групи аксіом абсолютної геометрії, а аксіома паралельності замінена її запереченням, а саме наступною теоремою.

V.Л.: Через дану точку Р, яка не лежить на прямій АВ проходить принаймні дві прямі, що лежать в площині, яка визначається прямою АВ і точкою Р і такі, що не перетинають пряму АВ.

Теореми, що випливають із аксіом абсолютної геометрії мають місце і в геометрії Лобачевского.

Будемо розглядати напрямлені прямі , причому напрям вибрано так, що . При цьому вважаємо, що точки і на прямій вибрані так, що всі точки, які розглядаються лежать між ними, а промінь ОА – це відкритий промінь з початком в точці О і містить А.

Нехай і - дві напрямлені паралельні прямі і , . Пряма наз. паралельною прямій в точці А по відношенню до точки В, якщо:

А) прямі і не перетинаються,

Б ) всякий промінь, який виходить з точки А і лежить всередині кута перетинає відкритий промінь .

//

Поняття паралельності не залежить від вибору точок і .

Доведемо наступну лему.

Лема 1 Якщо АВ //СD, то існує вісь симетрії прямих АВ і СD.

Н ехай Р і Q - точки, що лежать відповідно на прямих АВ і СD, а h і k - бісектриси кутів QPВ і PQD (рис. 1). Так як АВ // С , то промінь перетинає промінь в деякій точці Е. Тоді промінь перетинає відрізок РЕ в деякій точці .

Доведемо, що точка рівновіддалена від прямих АВ і С . Позначимо через , і - перпендикуляри, проведені з

Рис.1 точки до прямих АВ, С і Р (рис. 1). Так як = і = , то = . Тепер ясно, що пряма , що містить бісектрису кута , є віссю симетрії прямих АВ і С .

Користуючись цією лемою, легко довести, що відношення паралельності прямих задовольняє умові симетричності, тобто справедлива теорема.

Теор. Якщо АВ // С , то С // АВ.

Нехай Р - довільна точка прямої АВ, а - вісь симетричних прямих АВ і С . Тоді точка симетрична точці Р відносно прямої . лежить на С (рис. 5). Для доведення теореми скористаємося ознакою паралельності прямих. Прямі АВ і С не перетинаються, тому достатньо довести, що будь-який внутрішній промінь кута Р перетинає промінь РВ.

Нехай - довільний внутрішній промінь кута Р , а ' - промінь симетричний до променя відносно прямої . Так як кут симетричний до кута РВ і - внутрішній промінь кута Р , то '- внутрішній промінь кута РВ. Але АВ // , тому промінь ' перетинає промінь . Звідси слідує, що й промінь перетинає промінь РВ.

Теор. (транзитивність) Якщо АВ // Е , Е || С і прямі АВ та С не співпадають, то АВ // .

Домовимося називати дві (ненапрямлені) прямі а та паралельними, якщо на цих прямих можна вибрати напрям так, щоб вони бути паралельними.