21. Неперервні відображення топологічних просторів і їх властивості. Гомеоморфізм.

Пригадаємо найпростіше визначення пов’язане з відображенням.

Нехай X і Y – довільні множини, а (1) відображ. множини X на множину Y.

Позначимо через множину образів всіх точок множини X. Очевидно .

Якщо ,то наз. відображення множини X на множину Y.

Відображення множини X на множину Y наз. взаємнооднозначним, якщо різні точки переходять при цьому відображенні в різні точки. Очевидно, що взаємнооднозначне відображення (1) допускає оборотність, тобто існує єдине відображення таке, що і , де і – тотожні відображення множин X і Y.

Відображення називається оборотним для і записується .

Нехай (1) – дане відображення, а N – підмножина множини Y.

Повним прообразом множини N будемо наз. множину всіх точок в X , образи яких при відображенні (1) містяться в N.

Зауважимо, що повний прообраз множини може бути пустою множиною.

Якщо М – точка, то її новий прообраз може бути пустою множиною, однією точкою і множиною, що складається більше як з однієї точки. Приведенням відображ. (1) наз. таке відображення , яке визначається так: при будь-якому маємо . Очевидно, якщо = Y, то відображення і співпадають.

Нехай дано відображення (1) і множина . Відображення наз. звуження відображення (1), якщо для всіх маємо .

В топології важливу роль відіграє неперервне відображення, яке визначається так: Нехай X і Y – топологічні простори. Відображення (1) наз. неперервним в , якщо для кожного околу площини існує такий окіл точки , що .

Відображення (1) наз. неперервним на множині , якщо воно неперервне в кожній точці множини М.

Відображення (1) наз. неперервним, якщо воно неперервне на множині X.

Теор.: Для того, щоб відображення (1) було неперервним, необхідно і достатньо, щоб повний прообраз будь якої відкритої множини був множиною відкритою.

Доведення: Нехай (1) – неперервне відображення. -- довільна відкрита множина в Y, а N – її повний прообраз. Доведемо, що N – відкрита множина.

Необх. Для цього достатньо показати, що кожна точка цієї множини є внутрішньою. Оскільки , то – окіл точки . В силу неперервності відображ. (1) існує окіл точки x, такий, що . Звідси , що , а значить x – внутрішня точка.

Достат. Нехай x – довільна точка множини X, - образ цієї точки, а - будь який окіл точки . Якщо - повний образ множини , то відкрита множина.

Очевидно, - окіл точки x, крім того . Отже, відображ. (1) неперервне в точці x.

Наслідок. Для того, щоб відображення (1) було неперервним, необхідно і достатньо, щоб повний прообраз будь якої замкненої множини був множиною замкненою.

На основі теореми легко доводяться наступні твердження:

1. Нехай X, Y, Z – топологічні простори. Якщо і неперервні, то – неперервне.

2. Якщо відображення (1) неперервне, то для будь якої M X відображення :M Y- неперервне. Це випливає з (1), якщо враховувати, що f_М = f_e, де e: відображення, при якому образ кожної точки із М співпадає із самою точкою.

3. Приведення відображення (1) неперервне тоді і тільки тоді, коли відображення (1) неперервне.

Нехай - відображення при якому образ кожної точки із співпадає з самою точкою. Очевидно, що , тому якщо неперервне, то з (1) слідує, що - неперервне. Обернене твердження очевидне.

Нехай Х і У–тополог. простори. Відображ. (1) простору Х на простір У наз. топологічним, якщо воно взаємнооднозн. і крім того відображ. і ^-1 : неперервні.

Топологічні відображення точок наз. гомеоморфізмами (назва від грецьких слів «омео» - однаковий і «морф»- форма. Приклади гомеоморфізмів:

1) тотожнє відображ. при якому кожна точка множини Х переход. сама в себе.

2) Нехай Х та У – числові інтервали, , , де a і b – дійсні числа, . Очевидно х, у – метричні простори, значить тотожні. Легко перевірити, що відображення у = (b-a)х + а є топологічним. З поняття гомеоморфізму слідує:

1. Якщо відображ. є тополог., то відображ. також є тополог.

2. Якщо і є гомеоморфізмами, то є гомеоморфізмом.

Топологічний простір Х наз. гомеоморфним топологічному простору Y, якщо існує такий гомеоморфізм, при якому Х переходить в Y.

Із властивостей 1,2 слідує, що відношення гомеоморфності топологічних просторів рефлексивне, симетричні і транзитивне, тобто є відношенням еквівалентності.

Поняття гомеоморфізму легко може бути застосованим на множині точок, що належать топологічним просторам. Нехай R₁ і R₂ – топологічні простори, а , - довільні множини точок цих просторів.

Відображ. (1) наз неперервним в точках х, якщо для будь якого околу точки в R₂ існує окіл точки х в R₁ такий, що образи всіх точок з належать околу .

Відображ. (1) наз. неперервним, якщо воно неперервне в усіх точках множини Х.

Взаємнооднозначне відображення (1) множини Х на множину Y наз. топологічним або гомеоморфним, якщо відображення (1) і неперервні.

Якщо існує гомеоморфізм множини Х на множину Y, то множини Х та Y наз. гомеоморфічними. Щоб з’ясувати чи дві множини гомеоморфні, достатньо знайти хоча б одне топологічне відображення Х на Y. Якщо, наприклад, при топологічному відображенні маємо , то Х і Y гомеоморфні.

Складніше з’ясувати, що дві множини негомеоморфні. Тут бувають корисними топологічні інваріанти.

Топологічним інваріантом (тополог. властивістю) наз. будь-яку властивість, інваріантну відносно будь-якого топологічного відображення.

3. Властивість множини бути відкритою (або замкнутою) є топологічний інваріант.

Якщо у множини Х деякий топологічний інваріант присутній, а у множини Y той же інваріант відсутній, то множини Х і Y не можуть бути гомеоморфним.

Гомеоморфні множини топологічно інваріантні, з точки зору топології вони не відрізняються одна від одної. Топологічні перетворення (відображення на себе) множини R очевидно утворюють групу.