1.4.3. Примеры моделей

Общие замечания. Пошаговые модели достаточно просто рассчитываются в табличных процессорах, поэтому для иллюстрации их работы будем применять программу MS Excel. В различных информационных источниках можно найти довольно много интересных моделей в форме электронных таблиц. Разберём две задачи, иллюстрирующие данный подход.

Пример 1.1.

Моделируемая ситуация. Министерство чрезвычайных ситуаций РФ вынуждено срочно обследовать морскую акваторию вблизи границы с Японией. Объектом исследования являются радиоактивные показатели воды на глубине 20 метров на участке, протяженностью в 700 км. Для решения данной задачи было принято решение применить автономные необитаемые подводные аппараты (АНПА). Требуется сформировать заказ на изготовление группы АНПА из 3 штук, для выполнения задачи в кратчайшие сроки.

Постановка задачи. Осуществите оценку технических характеристик АНПА, если производитель предоставил следующие характеристики оборудования: время активной работы, скорость аппарата и энергетическая ёмкость аккумуляторной батареи⁵, которые приведены в таблице 2. Также известно, что АНПА может автономно выполнять задачу, подзаряжая аккумулятор от солнечной батареи, находящейся на корпусе подводного робота: для этого ему необходимо всплывать на поверхность светлое время суток (для указанного участка акватории летом можно эффективно вести подзарядку 16 часов в сутки, при времени подзарядки 2 часа), а ночью работы не производятся из за высокой вероятности потери аппарата (робот дрейфует у поверхности). По данным из технической документации, скорость вертикального погружения аппарата составляет 0,023 м/с, а вертикального всплытия - 0,175 м/с, норма расхода энергии в активном режиме составляет 47 Вт*ч, а в пассивном - 13 Вт*ч.

Таблица 2

Технические характеристики различных моделей АНПА

Время активной работы, час	6	8	10	12
Скорость, м/сек	1,12	1,02	0,96	0,9
Ёмкость батареи, Вт	200	220	237	252

Решение. Из условия следует, что в задаче рассматривается этап оценки альтернатив конфигурации АНПА, удовлетворяющих условиям практичности и оперативности. Данных, извлеченных из технической документации к подводным роботам, для такой оценки вполне достаточно. Но, как показывает практика, у аналитика в распоряжении не всегда имеются полные и точные данные обо всех особенностях моделируемого объекта. Распишем ход решения, соблюдая базовые этапы работы с пошаговыми моделями.

Цель моделирования в данной задаче была сформулирована в условии: выяснить ёмкость аккумуляторной батареи, исходя из режима работы АНПА, и дать оценку времени выполнения работ по замеру радиоактивного фона исследуемого участка акватории. Таким образом, нам требуется исследовать, как будет зависеть скорость выполнения задачи от скорости работы АНПА и ёмкости его батареи.

Определим критерий, по которому будет осуществляться моделирование. В данном случае это нормативное время работы при заданной ёмкости аккумуляторной батареи. Так как в условии задачи обозначен максимально возможный период активной работы АНПА, то периодом моделирования будет интервал от 6 до 16 часов. Из условия ясно, что ёмкость батареи нужно выбрать, следовательно, моделированию подлежат все модели, обеспечивающие прирост активной длительности работы робота на один час. Шаг моделирования будет равен одному часу.

Рис. 4. Аппроксимация исходных данных

Построим графики по данным из табл. 2, полученным. В качестве оси абсцисс будет выступать модельное время (часы активной работы, рис. 4), а оси ординат будут отражать динамику изменения данных в свих шкалах: скорость перемещения в метрах за секунду, а ёмкость аккумуляторной батареи в Ватах.

Из графика видно, что в исходных данных (ось абсцисс) содержатся значения, не соответствующие шагу моделирования (поэтому при построении графика использовался тип диаграммы «точечная»). Так как требуется оценить возможности АНПА за каждый час работы из исследуемого интервала, то необходимо получить значения рядов данных на каждом шаге моделирования. Осуществим предобработку исходных данных. Для этого выясним закон, которому подчиняются линии с рис. 4, добавив к каждому ряду данных линию тренда. В настройках линии тренда необходимо выбрать её тип и параметры визуализации (в частности, вывести на диаграмму её уравнение и показатель достоверности аппроксимации ). Для обоих линий с рисунка достаточно выбрать полиномиальную линию тренда со степенью аппроксимации равной двум.

Получив уравнения кривых скорости и ёмкости, пересчитаем по ним табличные данные с нужным шагом, то есть в точках 6, 7, …, 16. Результаты нормирования представлены на рис. 5 и в первых трёх строках табл. 3. Разница между данными из табл. 2 и табл. 3 объясняется возникшей в процессе пересчёта погрешностью, так показатель достоверности аппроксимации не равен единице, но к ней стремится. Если учесть, что в качестве шага моделирования был выбран час, а не минута, то данное расхождение существенно не повлияет на результаты расчета.

Рис. 5. Предобработанные исходные данные

Теперь рассмотрим процесс перехода X → Y. Внимательно изучив исходные данные, можно определить, что для каждого часа (i) можно посчитать временные параметры и показатели энергозатрат. Переведём время выхода робота на глубину и всплытие в часы: получим 0,24 и 0,03 часа соответственно. Далее дополним таблицу 3 набором расчётных показателей: время активной работы за одно погружение (А), полный единичный цикл (Б), число погружений за сутки (В), затраты энергии на одно погружение (Г), затраты энергии на работу за сутки (Д), полезное время работы на одно погружение (Е), расстояние за сутки (Ж), оценочное время выполнение работы одним АНПА (З) и оценочное время выполнение работы тремя АНПА⁶.

, где

где i – индекс столбца (номер шага), - объём заряда аккумуляторной батареи, 0,25 (15 минут) – значение запасного времени, требуемое на отработку механизмов зарядки от солнечных батарей.

; ; ;

;

;

;

.

Таблица 3

Просчёт модели

Показатели	Час работы
Время активной работы, час (Т)	6	7	…	14	15	16
Скорость, м/с (С)	1,118	1,0695	…	0,87	0,8615	0,858
Ёмкость батареи, Вт (Ё)	200	210	…	264	269	274
Время активной работы за одно погружение, час (А)	4	4,21	…	5,36	5,47	5,57
Полный единичный цикл, час (Б)	6	6,21	…	7,36	7,47	7,57
Число погружений за сутки, шт (В)	1	1	…	1	2	2
Затраты энергии на одно погружение, Вт (Г)	188,00	197,87	…	251,92	257,09	261,79
Затраты энергии на работу за сутки, Вт (Д)	448,00	455,14	…	494,24	683,96	690,76
Полезное время работы на одно погружение, час (Е)	3,73	3,94	…	5,09	5,20	5,30
Расстояние за сутки, км (Ж)	15,01	15,17	…	15,94	32,25	32,74
Оценочное время выполнение работы одним АНПА, сут (З)	47	47	…	44	22	22
Оценочное время выполнение работы тремя АНПА, сут.	16	16	…	15	8	8

Внесём в ячейки листа электронной таблицы формулы и произведём расчёты (табл. 3). Если грамотно задать формулы в Excel и пользоваться относительной адресацией ячеек, то, настроив формулы одного столбца, остальные значения в таблице можно рассчитать методом автоматического заполнения.

Осуществим анализ полученных результатов. В ходе моделирования был получен массив/таблица цифр, характеризующих временные и энергетические параметры выполнения задания различными моделями АНПА. Теперь нужно аргументировано показать, какую продолжительность работы подводного аппарата следует выбрать для кратчайшего выполнения исследовательской задачи. Если на одном графике построить динамику перемещений АНПА за сутки и оценку времени проведения работ, то на графике будет видна очевидная закономерность: с ростом ёмкости аккумуляторной батареи растёт и оценка скорости обследования акватории (рис. 6).

Рис. 6. Динамика показателей дневного расстояния перемещения АНПА и времени выполнения задания относительно параметров аккумуляторной батареи

Динамика работы трёх АНПА демонстрирует качественный переход в эффективности выбираемой батареи при длительности работы более 15 часов. Тот факт, что 16-ти часовой режим работы фактически не отличается от 15-ти часового (как по скоростям, так и по времени выполнения задачи) говорит о том, что рациональней выбрать такую конструкцию, которая будет легче, т.е. аккумулятор на 269 Вт.

Выводы. Рационально осуществить заказ АНПА с объёмом аккумуляторной батареи для ходовой части равной 269 Вт для успешного обследования акватории на уровень радиоактивного загрязнения (15-ти часовой режим работы). Оценочная скорость выполнения работ тремя аппаратами – 8 суток.

Пример 1.2.

Моделируемая ситуация. Фермерское хозяйство в лесостепной зоне Сибири арендует 100 га земли. Известно, что плодородие почвы и урожайность для рассматриваемой местности изменяется по закономерности, данной в табл. 4. Хозяйство практикует двупольную схему полевого севооборота и культивирует яровую пшеницу (заявленная урожайность – 190 килограммов с гектара). Необходимо составить на следующие 50 лет план наиболее стабильного ввода в оборот земли.

Постановка задачи. Осуществите мониторинг засева площадей, если за год нельзя ввести более 25 га земли (мало семян и ресурсов) и желательно выровнять ежегодную нагрузку на сельскохозяйственную технику. Известно, что почва восстанавливается за 2 года чистого пара (площадь не засеивается) и удобрения (650 руб. на гектар). Единица посевной площади используется в течение 2-х лет, затем два года восстанавливается (чистый пар), удобрение вносится раз в два года. Постройте график динамики засева площадей и экономических показателей затраты/доход, если 1 килограмм пшеницы стоит 7,5 руб. Аренда посевных площадей за год составляет 21000 руб./га. Предложите соотношение вводимых в оборот частей посевных площадей, чтобы максимально выровнять доходы фермерского хозяйства.

Таблица 4

Зависимость урожайности от времени эксплуатации участка

	Год использования посевной площади
	1	2	3	4	5	6	7
Качество плодородного слоя почвы, доля	1	0,8	0,5	0,2	0,1	0,1	0,1
Процент от максимальной урожайности, доля	1	0,85	0,6	0,3	0,15	0,1	0,1

Решение. Для того чтобы оценить объёмы затрат на содержание земли и доходы от выращивания пшеницы, необходимо выяснить последовательность обработки земельных участков в соответствии со схемой севооборота. Из условия следует, что если участок был введён в эксплуатацию в один год, то через два года он должен быть исключен из севооборота, а ещё через два – возвращён. Очевидно, что с площадью посевных площадей изменяется как доходная часть бюджета хозяйства (объём собранного урожая), так и расходная часть (число рабочих, объёмы закупок удобрений, период эксплуатации сельскохозяйственной техники и пр.). Поэтому модель должна показывать не только стоимостные оценки ситуации в хозяйстве, но и специфику режима работы с арендуемыми угодьями за требуемый период.

В качестве шага моделирования возьмём один год, период – 50 лет. Выведем на график (рис. 7) зависимость урожайности пшеницы и качества почвы от модельного времени. Так как в табл. 4 данные даны с интервалом в один год, а применяемая в хозяйстве система работы с землёй двупольная, то нормализация данных не потребуется.

Рис. 7. Характеристики урожайности

Для формального описания процесса севооборота потребуется ввести ряд обозначений. Множеством значений будем обозначать площадь земли, участвующую в работе хозяйства в год i в состоянии j. j принимает значение одного из четырёх состояний: первый год эксплуатации (посев и удобрение), второй год эксплуатации (посев), первый год отдыха и удобрение, второй год отдыха. Тогда получим прямоугольную матрицу (таблицу), имеющую 4 столбца и 50 строк. Значение каждого элемента из при пересчёте должно быть равным значению из предшествующего столбца предыдущей строки (для первого столбца берётся последний столбец с шага ), плюс та площадь земли, которую на i-м шаге была вновь введена в эксплуатацию.

Объёмы затрат на удобрение и аренду в i-м году будут определяться по формуле . Аналогичным образом оценим возможный доход: Эта оценка будет базой для дальнейшего планирования как оставшихся расходных статей бюджета хозяйства, которые не были включены в модель, и так доходных статей. Для решения задачи также будет полезно определить площадь активно используемых посевных площадей (это сумма и ), которую будем обозначать через

Таблица 5

Таблица пошаговой модели

Шаг	Год эксплуатации				З	П	О
	1	2	3	4
1	25	0	0	0	21000	35625	25
2	20	25	0	0	37250	58781	45
3	15	20	25	0	34000	45600	35
4	10	15	20	25	47000	32419	25
5	35	10	15	20	40500	61988	45
6	30	35	10	15	53500	85144	65
7	20	30	35	10	47000	64838	50
8	15	20	30	35	56750	45600	35
9	35	15	20	30	50250	68044	50
…	…	…	…	…	…	…	…
48	15	20	30	35	56750	45600	35
49	35	15	20	30	50250	68044	50
50	30	35	15	20	56750	85144	65

Теперь перейдём к процессу составления модели в программе MS Excel. В табл. 5 представлены результаты просчёта, исходя из описанной выше формальной модели. Результат расчётов представим в виде графика (рис. 8 и 9, а).

Рис. 8. Динамика экономических показателей модели

Модель показала довольно стабильную динамику: после пятого года работы процесс выходит на гармонические колебания. С чем это связано? Для данного просчёта (рис. 9, а) был выбран входной вектор значений {25, 20, 15, 10, 10, 10, 5, 5}. Это значит, что в первый год было введено в эксплуатацию 25 га земли, во второй – 20 и так до 8-го года, а дальше модель работала уже со всей площадью арендуемых земель. Насколько это хорошие показатели? Для ответа на этот вопрос требуется дальнейший анализ модели.

В качестве показателя эффективности динамики параметра можно взять скорость ввода всего участка земли (это влияет на объёмы урожая) и минимальная периодичность колебаний (она показывает стабильность доходных и расходных статей бюджета). Для финансовой оценки работы хозяйства важно, чтобы денежные затраты и вложения были как можно стабильней, так как это влияет на планирование в бюджете объёмов налоговых отчислений, закупки семян, число рабочей силы и техники, привлекаемых для работы. Полученный вариант (рис. 9, а) демонстрирует выход на стабильный режим через 5 лет (последние гектары были введены в работу только в восьмом году), а также значительную динамику амплитуды стоимостных показателей (до 40 000 руб.).

Выдвинем гипотезу, что постепенное введение участков в эксплуатацию приведёт к стабилизации стоимостных показателей. В качестве входного вектора подадим вектор {10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10}. Результат просчёта модели представлен на рис. 9, б: период введения всех земель в эксплуатацию составил 10 лет, выход на стабильный режим – 8 лет, а амплитуда колебаний доходов – около 30000 руб. Стоимостные показатели, вслед за колебаниями полезных площадей, также носят пилообразный характер.

Приходим к выводу, что следует подобрать наиболее приемлемый набор значений вектора, управляющего последовательностью ввода земли в оборот. Это можно сделать как вручную, так и воспользовавшись функцией MS Excel «Поиск решения». В качестве одного из вариантов ответа будет вектор {20, 25, 25, 25, 5}: период введения всех земель в эксплуатацию составил 5 лет, выход на стабильный режим доходов – 3 года, затрат – 5 лет (рис. 9, в). При таком сценарии амплитуда колебаний доходов будет близка к нулю.

Выводы. Предварительная оценка динамики ввода посевных площадей в севооборот показала, что наиболее благоприятным будет вариант {20, 25, 25, 25, 5} за первые 5 лет, что стабилизирует доходы и расходы уже к пятому году на уровне в соотношении 66 к 53,5 миллионов рублей.

а

б

в

Рис. 9. Динамика объёма засеиваемых площадей