Глава 1. Математическое моделирование

1.1. Модели и их виды

Исследование объектов и процессов окружающего мира – задача сложная, требующая знания специальных методов. В научной практике разработана целая система подходов, позволяющих описать объект, начиная его изображением и заканчивая математическими формулами. Однако в любом случае передать данные об объекте исследования удаётся лишь частично. Поэтому важно, чтобы в описании присутствовали те аспекты, которые интересуют исследователя. Например, описание характеристик летательного аппарата должно включать указание на форму фюзеляжа и крыла, вес, характеристики турбин или винтов и пр., а описание поведения курса акций предприятия на бирже – на профиль предприятия, динамику цен на акцию, стоимость валют, значение индекса РТС и пр. Таким образом, совокупность описательных характеристик, присущих исследуемому предмету, которыми оперирует исследователь для достижения поставленной цели, можно назвать моделью. В научной форме определение будет выглядеть следующим образом:

• Модель (англ. model) – любой образ, аналог (мысленный или условный: изображение, описание, схема, чертеж, график, план, карта и т. п.) какого-либо объекта, процесса или явления («оригинала» данной модели), используемый в качестве его упрощённого «заместителя», «представителя».

По форме проявления разделяют два типа моделей: материальные и идеальные. К первым относятся изменённые в размере копии реальных объектов (уменьшенный каркас здания; учебный стенд с двигателем внутреннего сгорания) или заменяющие их аналоги, имеющие отличную природу со схожим эффектом (манок, подражающий крику птицы; обработанная соя, воспроизводящая вкус мяса). Ко второму классу моделей можно отнести интуитивные модели (мысленный эксперимент над астероидом в космосе; планирование пересечения оживлённого перекрёстка дороги пешеходом) и знаковые модели (чертёж турбины гидроэлектростанции; диаграмма изменения состояний станка; компьютерная модель движения пчелы). Процесс составления и работы с любой из этих моделей называется моделированием. Определение данного термина выглядит так:

• Моделирование (англ. modeling) – исследование каких-либо явлений, процессов или систем объектов путем построения и изучения их моделей; использование моделей для определения или уточнения характеристик и рационализации способов построения вновь конструируемых объектов.

В науке традиционными считаются знаковые модели. Они выражаются в виде программ (компьютерные модели), математических законов (аналитические и имитационные модели), графических объектов (схемы, диаграммы, графы). Без специально введённых правил интерпретации такие модели использоваться не могут.

С появлением вычислительной техники фактически все виды знаковых моделей стали составляться и исследоваться при помощи вычислительного эксперимента. Это существенно упростило работу как со статическими моделями (трёхмерной моделью Салбыкского кургана, структурой кристаллической решетки нового полимера), так и с динамическими (моделями полёта снаряда в атмосфере, стыковки летательных аппаратов на геостационарной орбите, распространения сейсмических колебаний в земной коре при землетрясении, динамики спроса на фармацевтический препарат). Стало возможным описывать не только заданную каким-либо математическим законом динамику объекта (например, уравнения движения маятника или уравнения движения заряженной частицы в электрическом поле), но и задавать случайные воздействия на него (например, описывать длительность обслуживания клиента на кассе супермаркета, вероятность поломки токарного станка в производственном цехе).

Сочетание математических подходов и быстродействующей компьютерной техники привели к массовости применения моделирования. Особенно продуктивно оно применяется в научных исследованиях, проектах строительных конструкций и управлении экономическими объектами.