2.3. Непрерывные случайные числа и их имитация

Ключевые слова: псевдослучайная величина, метод Монте-Карло, теоретический закон непрерывной случайной величины, равномерное распределение, нормальное распределение, показательное распределение

Имитирование случайного дискретного процесса, имеющего сложное распределение, – трудоёмкий процесс. Поэтому эмпирическое распределение зачастую аппроксимируют с помощью стандартных теоретических распределений. Это позволяет сделать процесс генерации случайных событий намного проще и управляемей. Рассмотрим наиболее часто применяемые теоретические распределения.

Равномерное распределение – распределение случайной величины, принимающее любое значение из своей области определения с равной долей вероятности. Пример равномерного распределения представлен на рис. 17.

Рис. 17. Равномерное распределение для и

Область распределения характеризуется двумя числами – минимальным (a) и максимальным (b) значениями, между которыми и будет находиться случайная величина. Для данной области распределения функция плотности имеет вид:

. (10)

Чтобы получить ряд чисел, подчинённых равномерному закону распределения, недостаточно формулы (10). Пусть дано случайное число n из интервала от 0 до 1. Тогда его можно преобразовать к равномерному распределению на интервале по следующей формуле:

(11)

Область применения – любые процессы, не имеющие закономерности поведения, то есть демонстрирующие равную возможность появления любого значения на исследуемом диапазоне.

Распределение Гаусса (нормальное) – распределение случайной величины, плотность вероятности значений которой подчиняется следующему закону:

или (11)

Гауссово распределение имеет два параметра: матожидание и среднеквадратичное отклонение (рис. 18). Первый вариант формулы (11) используется для генерации нормально распределённых чисел с матожиданием 0 и отклонением 1 (нормированное распределение), второй вариант позволяет задавать собственные значения параметров распределения ( задаёт смещение по оси абсцисс, а σ – крутизну и островершинность).

Рис. 18. Гауссово распределение для и

Для получения числа, распределённого по нормальному закону, требуется осуществить преобразование:

(12)

Область применения – ситуации, где исследуемая величина имеет случайный характер, но её значения симметрично колеблются вокруг одного значения с определённым разбросом.

Показательное (экспоненциальное) распределение – распределение случайной величины, плотность вероятности значений которой подчиняется следующему закону:

где а Экспоненциальное распределение имеет один параметр , а параметры, рассчитываемые по формулам (7) и (9), совпадают (рис. 19).

Рис. 19. Показательное распределение для

Для получения числа, распределённого по экспоненциальному закону, требуется осуществить преобразование:

Область применения – ситуации, где исследуемая величина имеет случайный характер, но её значение колеблется вокруг одного значения с определённым разбросом.

Гамма-распределение – распределение случайной величины, плотность вероятности значений которой подчиняется следующему закону:

где , а , оператор – гамильтониан. Параметр определяет эксцесс, а – островершинность, которая играет роль шкалы (рис. 20). Если значение параметра – целое положительное число, то такое распределение ещё называют распределением Эрланга. Нормальное распределение и показательное распределение являются частным случаем гамма-распределения.

Рис. 20. Три различных варианта функции плотности гамма-распределения ( = 12; = 0.3, 0.8 и 0.2 соответственно)

Область применения – ситуации, где исследуемая величина имеет случайный характер, но её значения неравномерно колеблются вокруг одного значения с определённым разбросом.

Кроме этих теоретических распределений, на практике также часто применяются распределение Пирсона (хи-квадрат), распределение Стьюдента и распределение Фишера, отражающие специфику значений формул (7), (8) и (9).

Рассмотрим генерацию непрерывных случайных величин на примере, реализованном в MS Excel.

Пример 2.2.

Моделируемая ситуация. В конструкторском бюро проектируют новую конструкцию источника света на базе катодов с холодной эмиссией (светодиоды на органических катодолюминофорах). Для предварительной оценки плотности попадания эмитирующих электронов на покрытый люминофором анод нужно сымитировать их поток.

Постановка задачи. Предварительные эксперименты на физических образцах показали, что при установленных техническим проектом параметрах диода интенсивность потока электронов подчиняется нормальному закону распределения с математическим ожиданием 240 и дисперсией 83 электрона⁴/нанометр² в секунду. Требуется воспроизвести динамику изменения интенсивности плотности потока электронов для 20 минут непрерывной работы образца.

Решение. Модельным временем в задаче будет реальное время, представленное в секундах, то есть 1200 шагов моделирования. Расчет удобней вести в десятках тысяч электронов, не переводя к единичным проявлениям процесса.

Таким образом, для имитации случайной величины, подчинённой нормальному закону распределения, воспользуемся формулой (12), взяв для приближенных расчётов 12 столбцов случайных величин ( =12, по формуле (9), результаты просчета модели представлены в табл. 11).

Таблица 11

Генерация нормально распределённой псевдослучайной величины

№ эксперимента	Сч1	…	Сч12	Норм. сч
1	0,386	…	0,648	285
2	0,778	…	0,210	251
…	…	…	…	…
1199	0,036	…	0,827	199
1200	0,902	…	0,621	255

Вывод: формула, имитирующая плотность эмиссии электронов, будет выглядеть следующим образом:

«=((СУММ($B2:$R2)-12/2)*КОРЕНЬ(83)+240)»,

где столбцы B – R содержат случайные величины, распределённые по равномерному закону на интервале от 0 до 1 (функция «СЛЧИС()»).