2.1.3. Характеристики случайных величин

Случайные величины можно описать как с помощью закона распределения, так и с помощью его отдельных параметров: математического ожидания, дисперсии, среднеквадратичного отклонения и объёма выборки. Рассмотрим их расчет на примере.

Нотариус осуществляет приём граждан. Очередь на приём характеризуется длиной x_i, причем каждое возможное значение характеризуется вероятностью p(X), данной в табл. 9. Охарактеризуем распределение величины X.

Таблица 9

Вероятность поступления клиентов

Длина очереди (X), чел.	0	1	2	3	4	5 (макс.)
Вероятность ( )	0,2	0,31	0,27	0,12	0,074	0,026

Математическим ожиданием (средним значением) события X будет величина 1,636, рассчитанная согласно формуле (7). Важно, что при стремлении числа испытаний к бесконечности для любого стационарного случайного процесса математическое ожидание ряда значений является постоянной величиной.

(7)

Дисперсия – характеристика рассеяния значений случайной величины от математического ожидания (формула (8)). Для примера будет равна 1,79.

(8)

Среднеквадратичное отклонение – другая характеристика отклонения значений исследуемого параметра относительно матожидания. Оно рассчитывается по формуле (9) и для примера равно 1,34.

(9)

Объём выборки – величина, характеризующая объём исследуемой совокупности значений (число значений в выборке или генерируемых случайных величин).

2.1.4. Метод Монте-Карло

Моделирование случайного потока событий с использованием компьютера требует строго определенного алгоритма, позволяющего получать равномерно распределённые на заданном интервале числа. В 1949 году Дж. фон Нейман и С. Улам предложили первый алгоритм получения псевдослучайных величин, который впоследствии был назван методом Монте-Карло¹⁰ и послужил основой для развития методики генерации псевдослучайных чисел с использованием ЭВМ. Он был усовершенствован специалистами корпорации RAND и применялся при разработке технологии ядерного взрыва. В Советском Союзе первые работы на эту тему были опубликованы лишь в 1955–1956 гг. (авторами их были В. С. Владимиров, А. Ю. Шрейдер, В. В. Чавчанидзе).

Рассмотрим алгоритм фон Неймана. Пусть требуется получить последовательность величин n_i, значения которых находятся в промежутке от 0 до 9 999 и распределённых случайно и равномерно. Для этого воспользуемся следующим алгоритмом расчета:

1. Возьмём случайную величину, записывающуюся в четырёх разрядах.

2. Возведём её в квадрат.

3. Отбросим первые и последние два разряда.

4. Для моделирования следующего числа перейдём к шагу 1, взяв за исходное значение уже рассчитанное число.

Например, первые пять случайных величин по этому алгоритму для начального значения будут Несмотря на малую эффективность, данный алгоритм послужил основой для развития всего метода.

Функции автоматической генерации псевдослучайных чисел занимают важное место в имитационном моделировании и реализованы в качестве базовых возможностей в средах имитационного моделирования и математических пакетах. Например, для получения случайного числа из интервала от 0 до 1 в ячейку листа MS Excel необходимо записать текст «=СЛЧИС()».

Алгоритмы генерации случайных чисел интенсивно применяются во многих отраслях моделирования, поэтому для генерации псевдослучайных чисел применяют преобразование значений, полученных по методу Монте-Карло, приводя поток событий к нужной закономерности.