3.3.2. Примеры

Общие замечания. В качестве программной среды для знакомства с технологией составления моделей, включающих стохастические параметры, выберем MS Excel, хотя и другие программные пакеты предоставляют не меньшее количество возможностей в работе с псевдослучайными величинами.

Пример 3.1

Моделируемая ситуация. Фирма осуществляет продажу и установку пластиковых окон. Имеется достаточно большой поток покупателей, поэтому требуется оценить затраты фирмы, связанные с оплатой доставки и установки окна. Каковы суммарные затраты на одну единицу проданного товара?

Постановка задачи. Известно, что нормативная стоимость одного окна с учётом стоимости доставки и монтажа, обходится фирме в 23 000 руб. Доставка должна осуществляться в течение 14 дней с момента заключения договора (фиксированная в договоре величина), но фактически время равномерно распределено на интервале [2; 18] дней. Стоимость доставки (расход на бензин) – случайная величина, распределённая по экспоненциальному закону распределения, с параметром 0,008. Длительность монтажных работ занимает время, подчинённое дискретному закону распределения, определяемому по следующему статистическому ряду: 2,3; 2,1; 4; 2,8; 3,3; 3,5; 2,9; 3,6; 3,9; 3,1; 3,1; 3,1; 4,2; 3,5; 3,6; 2,5; 4,5; 4; 3; 3,7; 3,5 (часы). Каждый час работы двух рабочих-монтажников обходится в 400 руб. За каждый день просрочки фирма обязана возместить клиенту неустойку в размере 2 % от стоимости окна. Промоделируйте 400 заказов и оцените затраты, связанные с нарушением договора на единицу товара.

Решение. Целью моделирования в данной задаче является стоимостная оценка выполнения одного заказа. Следовательно, результирующие показатели должны выражаться в стоимостных характеристиках. Из условия видно, что затраты на одну покупку будут складываться из зарплаты рабочих, себестоимости продукции (23 000 руб.), транспортных расходов и выплат, связанных с нарушением условий договора (неустойка). Следовательно, требуется получить усреднённую оценку стоимостных характеристик 400 заказов и сделать соответствующие выводы.

В качестве модельного времени имеет смысл выбрать номер очередного заказа (шагом моделирования будет соответственно один заказ). Так как нормирование исходных данных осуществлять не требуется, то перейдём к формализации модели.

Для того чтобы промоделировать заработную плату за монтажные работы, необходимо проанализировать статистику выполнения предыдущих заказов. Исходя из того, что оплата рассчитывается по часам, определим длительность работ, приходящихся на каждый час (табл. 12). Далее рассчитаем для каждого часа монтажа функцию плотности распределения и функцию распределения, согласно (4) и (5).

Таблица 12

Расчёт параметров дискретной случайной величины

Час работы	0–1	1–2	2–3	3–4	4–5	5–6
Число наблюдений, шт.	0	0	6	12	1	0
	0	0	0,32	0,63	0,05	0
	0	0	0,32	0,95	1	1

Из таблицы видно, что длительность монтажа окна изменяется на интервале от 3 до 5 часов, поэтому моделируемая величина будет иметь три возможных состояния ( = 3). Теперь для того, чтобы сгенерировать нужное число, требуется получить случайную величину по методу Монте-Карло (формула «=СЛЧИС»), а затем задать условие:

=ЕСЛИ( >0,95;5;ЕСЛИ( >0,32;4;3)).

Затраты на монтаж в i-м эксперименте будут рассчитаны как 400* . Теперь перейдём к вычислению величин, заданных эмпирическими законами распределения.

Транспортные расходы заданы показательным распределением с параметром 0,008 и будут определены по формуле:

= -1/0,008*LN( )

Определить размер неустойки можно только в том случае, когда известно время доставки. Оно задано равномерным распределением на интервале от 2 до 18 дней и будет рассчитано так: =2+ *(18-2).

Тогда неустойка будет определена по формуле:

=ЕСЛИ(ОКРУГЛ( ;0)>14;

(23000*0,02*ОКРУГЛ( ;0)-14);0)

Так, для i-го эксперимента затраты (З) составят сумму:

Если теперь все расчеты расположить в одну строку на странице Excel, то столбец из 400 подобных экспериментов даст необходимую для вывода статистику.

Выводы. Затраты фирмы, связанные с оплатой доставки и установки одного окна, составят примерно 1860 руб., общие затраты на один заказ составят 24820 руб. При этом средние затраты на пеню для одного заказа колеблются в интервале от 190 до 260 руб.

Пример 3.2.

Моделируемая ситуация. Частная фирма предлагает услуги по проведению экзаменов на получение водительских удостоверений. Нормативная стоимость одного экзамена (включая дни подготовки) – 7 000 руб. Предложите объём группы, сдающей за один день, если тест группа пишет единовременно в начале дня, а практика (автодром и «город») идёт в оставшееся рабочее время. Оцените доход фирмы, промоделировав 4 000 обращений клиентов.

Постановка задачи. Экзамен состоит из двух частей: решения теста по ПДД и вождения автомобиля (автодром и «город»). Подмечено, что длительность решения экзаменационного теста есть случайная величина, подчиняющаяся нормальному распределению с матожиданием 45 и среднеквадратичным отклонением 12 минут. 35 % всех сдающих теоретическую часть (компьютерный тест) не проходят первый этап. Клиенты, успешно выполнившие тест, переходят к практической части, которая длится случайный интервал времени в пределах от 25 до 60 минут и проводится на одном из 3-х автотранспортных средств фирмы. 31 % оставшихся кандидатов в водители с вождением автомобиля не справляются. Определите доход фирмы за день (8 часов работы), если человек, не прошедший первый этап, платит 50 % от нормативной цены, не прошедший второй этап – 80 %.

Решение. Целью моделирования в этой задаче является определение дохода от фиксированной группы, поэтому рассчитаем возможные состояния оплаты: 7000 руб., если всё сдано успешно, 5600 руб., если не сдана только практическая часть, и 3500 руб., если сдающим не выполнен тест и он не допущен до сдачи практической части. В качестве модельного времени будет выступать отдельный экзаменующийся, то есть потребуется таблица в 4000 строк.

Осуществим формализацию решения для единичного эксперимента. Пусть – строка в таблице (номер эксперимента). Расчётная формула для вычисления выручки от первого этапа принимает вид: =ЕСЛИ(СЛЧИС()>0,35;0;3500). Для второго этапа – =ЕСЛИ( =0; ЕСЛИ(СЛЧИС()>0,31;0;5600);0). Из этих расчётов следует, что значения, отличные от нуля, будут выведены лишь тогда, когда соответствующая часть экзамена не была сдана. Тогда итоговое значение суммы, которую получит фирма, будет рассчитано по формуле:

=ЕСЛИ( + =0;7000;ЕСЛИ((D23=0);5600;3500))

Теперь оценим время. Затраты времени на первую часть экзамена будет рассчитано как , где сумма взята для 12 независимо сгенерированных псевдослучайных величин в соответствии с Гауссовым законом распределения случайной величины. Для второго этапа расчёт будет выглядеть так: =ЕСЛИ( >0;0;ОКРУГЛ(25+СЛЧИС()*(60-25);0)). Теперь требуется рассчитать все эти величины для интервала моделирования, где . Состав модели представлен в табл. 13.

Таблица 13

Фрагмент пошаговой модели сдачи экзаменов на права

						Сч1	…	Сч12
1	0	0	7000	40	26	0,79	…	0,25
2	0	5600	5600	34	31	0,30	…	0,95
…	…	…	…	…	…	…	…	…
3999	3500	0	3500	32	0	0,82	…	0,37
4000	0	0	7000	29	48	0,59	…	0,25

Построенная модель показывает возможные исходы экзаменационных ситуаций, но полученного массива чисел ещё не достаточно для обоснованного вывода. Продолжим расчёты.

Рассчитаем усреднённые показатели времени работы экзаменующихся на каждом этапе и средний суммарный доход. Для полученной таблицы это будут значения = 36 минут, = 37 минут и   = 4927 руб. Это позволяет получить максимальное число сдающих в день человек, учитывая то, что в парке фирмы 3 автомобиля для сдачи практического этапа (тест могут писать все экзаменующиеся единовременно). Тогда максимальное число человек α, успевающих сдать экзамены в один день, будет определено как α=(8*60- )/ *3. Для данной задачи эта величина равна 36. Итоговый доход будет определён по формуле β = α *

Выводы. Для фирмы рационально предложить группу экзаменующихся в количестве 36 человек в день, что в среднем будет приносить 176010 руб. в день.