3.6. Упражнения

Общие замечания. Первые три задачи приведены на дискретные имитационные модели, решаемые в MS Excel. Следующие две – на блочное моделирование, они решаются при помощи пакета Simulink среды моделирования MatLab. Далее следует шесть задач на системы массового обслуживания, решаемые в системе GPSS World.

Задача 3.1

Моделируемая ситуация. При проверке студенческой столовой комиссия заинтересовалась содержанием сахара в чае. Предполагается, что по норме в стакане должен содержаться раствор с 0,033 промилле (грамм на литр) сахара. Требуется дать оценку действиям персонала столовой и оценить стоимость сахара, если нормативная стоимость килограмма сахара равняется 27,5 рублям.

Постановка задачи: В процессе экспертизы было выявлено следующее содержание сахара в чайном растворе: 0,027, 0,029, 0,028, 0,027, 0,027, 0,03, 0,03, 0,027, 0,027, 0,031, 0,03, 0,03, 0,028, 0,028, 0,029, 0,027, 0,029, 0,029, 0,026, 0,03, 0,03, 0,029, 0,03, 0,032, 0,03, 0,03, 0,031, 0,03, 0,029, 0,03, 0,03, 0,029, 0,028, 0,029, 0,027, 0,027, 0,028, 0,03, 0,027, 0,03, 0,029, 0,029, 0,031, 0,031, 0,03, 0,03, 0,029, 0,03, 0,028, 0,027, 0,029, 0,029, 0,026, 0,03, 0,03, 0,029, 0,03, 0,032, 0,03, 0,03, 0,031, 0,03, 0,029, 0,03, 0,03, 0,029, 0,028, 0,029, 0,027, 0,027, 0,028, 0,03, 0,027, 0,03, 0,029, 0,029, 0,031, 0,031, 0,03, 0,03, 0,029, 0,03, 0,028, 0,03 (в промилях). Промоделируйте затраты на месячный объём приготовляемой продукции (в среднем 4500 стаканов чая).

Задача 3.2

Моделируемая ситуация: Бригада рабочих осуществляет уборку сельскохозяйственной продукции в поле. Необходимо определить время, за какое время будет убрана площадь в 25 га.

Постановка задачи: Бригада состоит из 4 человек, скорость работы каждого из которых есть случайная величина, распределённая по равномерному закону на интервале от 58 до 75 килограмм овощей с гектара в час. Урожайность гектара – также случайная величина (нормальное распределение с матожиданием 210 и дисперсией 37 килограммов овощей на один гектар). Оцените время, которое стоит запланировать на уборку всего объёма сельскохозяйственной продукции.

Задача 3.3

Моделируемая ситуация: Доход от денежного перевода для банка составляет случайную величину. Имеется следующий ряд наблюдений, характеризующий денежные переводы: 3526, 6432, 7246, 3262, 531, 63490, 742, 210, 1842, 1453, 6312, 2357, 11354, 5425, 35829, 24571, 15043, 2462, 9642, 16346, 2659, 3431, 4547, 800, 1975, 2473, 7421, 6428, 46724, 3245, 8224, 13850, 438, 2474, 7389, 9375, 109324, 4270, 802, 7626, 5548, 3164, 4268, 1437, 14567, 3472, 9653, 43835, 689, 210, 2473, 7421, 428, 32450 (рубли). Определите, каким будет средний доход банка, приходящийся на одну операцию.

Постановка задачи: Постройте эмпирическое распределение вероятности дохода, если с каждой банковской операции удерживается 5,5 % от суммы в пользу банка. На сборы действуют следующие ограничения: объём комиссии не может быть менее 10 рублей (для сумм менее 110 рублей) и не более 2 500 руб. (для сумм, превышающих 25 тысяч рублей). Определите средний доход на одну операцию, опираясь на результаты моделирования 5 000 денежных переводов.

Задача 3.4

Моделируемая ситуация: Требуется оценить объём налоговой базы и отчислений пошлин на добычу древесины, если известно, что лесозаготовительное предприятие имеет начальную налоговую базу в 28 000 рублей.

Постановка задачи: Известно, что прирост налоговой базы организации осуществляется со скоростью 2,92, а снижение со скоростью 0,16. Дополнительные затраты, уменьшающие налоговую базу – 4 500 рублей на отчисления экологам. После предобработки сырья (кругляка) товар имеет снижение стоимости, рассчитываемой как сочетание фиксированной доли от прежних объёмов (13,8 %) и нормально распределённой случайной величины с матожиданием 26 и дисперсией 14 тысяч.

Осуществите моделирование в течение 24 недель с учётом того, что (платежи за пользование лесными ресурсами) отчисления по налогу с недр (древесина) составляют 3,6 % от налоговой базы.

Задача 3.5

Моделируемая ситуация: Технологический цикл добычи нефти существенно влияет на экологическую обстановку на шельфе вокруг скважины. В районе разработки нефтяного месторождения обитает редкая популяция планктона. Для получения лицензии на разработку данного месторождения компании требуется показать, как будет сказываться на численности планктона увеличение объёмов добычи.

Постановка задачи: Известна следующая динамика объектов исследования:

Динамика изменения популяции имеет следующие характеристики:

– коэффициент Мальтуса равен 2,843;

– постоянное снижение численности популяции за счёт наличия хищников – 5 кг/м³.

– случайный прирост популяции за счёт миграции с океаническим течением подчинён нормальному закону распределения с матожиданием 4 и дисперсией 2,4 кг/м³.

– снижение численности популяции за счёт загрязнения воды на один баррель нефти со скоростью 0,125 кг/м³.

Объёмы добычи нефти зависят от следующих факторов:

– технические характеристики оборудования позволяют наращивать объёмы добычи нефти со скоростью 3,5 барреля в день;

– влияние погодных условий на объём добычи подчинён равномерному закону распределения в интервале от 7 до 12 барреля в день;

– сокращение объёмов добычи промышленной нефти со скоростью 1,21 барреля в день (это связано с наличием в скважине значительного процента сырой нефти);

– наращивание объёмов добычи зависит от значения на предыдущем шаге моделирования.

Осуществите моделирование на три недели вперёд, если начальный объем добычи равен 7 баррелям в день, концентрация популяции планктона составляет 5 кг/м³. Представьте условие в виде диаграммы потоков, а затем составьте и просчитайте блочную модель. Оцените влияние работы скважины на экологическую обстановку. Каковы шансы компании получить лицензию?

Задача 3.6

Моделируемая ситуация. В Интернет-кафе работают двенадцать компьютеров. Требуется оценить их загруженность, если поток пользователей – случайная величина, распределённая по равномерному закону распределения на интервале от 5 до 7 пользователей в час.

Постановка задачи. Известно, что время обслуживания клиента составляет в среднем 52 минуты с отклонением 24 минуты. Если по пришествии очередного клиента все машины уже заняты, то он уходит. Предложите оптимальное число рабочих мест.

Задача 3.7

Моделируемая ситуация. Для получения гражданином идентификационного налогового номера (ИНН) необходимо пройти определённую процедуру в местном отделении налоговой службы. Требуется оценить нагрузку на отдел выдачи ИНН для дальнейшей оптимизации его деятельности, если рабочий день равен 8-ми часам.

Постановка задачи. Люди приходят в налоговую за ИНН с интенсивностью, подчинённой равномерному закону распределения от 7 до 19 минут, и встают в одну очередь за бланками. Бланк выдаётся в одном окошке в течение 30–50 секунд (в зависимости от занятости работника). Далее заполнение документов по образцу осуществляется самим налогоплательщиком за время, длящееся случайный период (экспоненциальное распределение с параметром 8,2). После этого документы подаются в одно из трёх окошек, где оформляется и выдаётся (печатается) новый документ (ИНН): выдача документа длится случайный интервал времени, распределённый нормально с матожиданием 5 и дисперсией 3,6 минуты; матожиданием 5,8 и дисперсией 3 минуты; матожиданием 6,2 и дисперсией 4,1 минуты соответственно. Предложите меры по оптимизации работы отдела.

Задача 3.8

Моделируемая ситуация. В заводском цехе осуществляется сборка flash-плееров. Первая операция – сборка комплектующих в единый корпус, вторая – установка электронного программного обеспечения.

Постановка задачи. Осуществите моделирование системы производственного процесса в течение 9-часовой рабочей смены, включающего две операции обработки изделия с соответствующим контролем. Известны следующие параметры производственного процесса:

• Поток изделий, поступающих на комплектацию, подчиняется экспоненциальному распределению вероятностей с параметром 13.

• Время выполнения первой операции для трёх станков подчиняется нормальному распределению с матожиданием 5, 5.3, 5.2 и дисперсией 1, 1.3, 0.91 мин соответственно. Время на тестирование этой операции составляет 1.62 мин.

• Время выполнения второй операции на двух станках определяется с помощью Гауссова распределения с параметрами  = 10,  = 3, а время тестирования составляет 4 мин.

Предложите пути совершенствования на производстве.

Задача 3.9

Моделируемая ситуация: Организация осуществляет изготовление торговых стеллажей и витрин для магазинов. Необходимо оценить загрузку оборудования в производственном цехе в течение рабочей смены (8 часов), если интенсивность поступления заказов подчинена равномерному закону распределения и принадлежит интервалу от 11 до 37 минут.

Постановка задачи: Для каждого заказа инженер составляет проект (случайное время распределено по закону Гаусса с матожиданием 11 и дисперсией 6 минут). Далее на одном из четырёх станков осуществляется подготовка материала: работа каждого станка имеет длительность работы 13–28, 19–25, 16–31 и 23–27 минут соответственно, распределённых равномерно. Далее следует этап сборки, где каждый из троих мастеров собирает и комплектует поступивший к нему заказ: длительность работы каждого мастера составляет (14 ± 5), (17 ± 4), (15 ± 6) минут соответственно, распределённых по нормальному закону. Определите загрузку оборудования и характеристики длительности выполнения одного заказа. Предложите пути совершенствования технологического процесса.

Задача 3.10

Моделируемая ситуация. В службу поддержки при представительстве компании Microsoft поступают по Интернету запросы от пользователей. Требуется оценить нагрузку на службу, если рабочий день составляет 12 часов.

Постановка задачи. Звонки поступают на один из трёх телефонов, где идёт выяснение того, что пользователю нужно: скорость их работы – случайная величина, распределённая в интервале от 2 до 4 минут. Далее звонок перенаправляется к одному из группы профильных специалистов: группа состоит из пяти человек, ведущих обслуживание с матожиданием 7 и дисперсией 2 минуты. Требуется оценить эффективность работы отдела, если интенсивность поступающих запросов подчинена равномерному закону на интервале от 0,4 до 1,8 минут. Предложите пути оптимизации системы.

Задача 3.11

Моделируемая ситуация. В день чемпионата по хоккею руководству стадиона требуется осуществить проверку билетов и досмотр болельщиков перед входом на стадион. Предложите необходимое число сотрудников пункта контроля, если изначально билеты проверяют два человека, досмотр осуществляют 3 человека, а пропуск на стадион начинается за 4 часа до матча и оканчивается с его началом.

Постановка задачи. Известно, что билеты купило 8 200 человек. Интенсивность поступления болельщика на пропускной пункт характеризуется случайной величиной, имеющей экспоненциальное распределение 3. Проверка одного билета занимает 0,5 минуты; осмотр «реквизита» болельщиков – равномерно распределённая случайная величина в интервале от 1 до 3 минут на человека.