2.3. Практическая работа № 3. Численное дифференцирование. Метод Рунге-Ромберга

Для студентов специальности «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем» отведено 4 часа практических занятий, а для студентов специальности «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем»  2 часа.

План занятий:

1. Актуализация определения производной функции одной переменной и дифференциала, его геометрического смысла, понятия бесконечно малой функции при , сравнения бесконечно малых функций при , определения символа «о»  малое и «О»  большое, связь между ними, свойств символа «о»  малое, определения верных цифр в записи приближенного значения и их свойств.

2. Актуализация формулы Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и Пеано.

3. Повторение полиномиальных формул численного дифференцирования, понятия порядка точности, порядков точности отдельных формул.

4. Повторение оценки погрешности формулы численного дифференцирования при неточно заданных табличных данных, причин начальной стабилизации разрядов в записи приближенных значений производной и последующей разработки.

5. Повторение первой и второй формулы Рунге, асимптотической оценки погрешности, метода повторного счета (правила Рунге).

6. Решение примеров.

7. Консультирование студентов по выполнению домашней работы.

Рассматриваемые примеры:

1. Найти порядок точности и оценку погрешности формулы при условии, что функция имеет ограниченную производную третьего порядка на .

Решение:

В условиях рассматриваемого примера функцию можно разложить на указанном промежутке по формуле Тейлора. Запишем это разложение с остаточным членом, записанным в форме Лагранжа и в форме Пеано:

при .

Здесь точка лежит между точками x и . Используем эти разложения для вычисления и :

при ,

при .

Здесь точка лежит между точками и , а точка лежит между точками и . Рассмотрим разность между точным и приближенным значением производной. Подставим в нее полученные выражения:

при .

Таким образом, исследуемая формула численного дифференцирования имеет второй порядок точности. Здесь использовано, что при , а также то, что при .

Подставим в формулу для модуля разности между точным и приближенным значением производной полученные выражения

.

Здесь  это положительная постоянная, такая, что на .

2. Даны значения функции в точках ( ). На существует ограниченная производная функции второго порядка . Для вычисления приближенного значения первой производной функции в точке используется формула

.

Найти асимптотическую оценку погрешности этого приближенного значения.

Решение:

Наша формула представляет собой приближенную формулу вида . В самом деле, если положить , , , то формула примет вид: .

Формула , как известно, имеет порядок точности .

Выберем , и запишем для рассматриваемой формулы асимптотическую оценку погрешности:

.

3. Даны значения функции в точках ( ). На существует ограниченная производная функции второго порядка . Для вычисления приближенного значения первой производной функции в точке используется формула:

.

Вычисление по этой формуле производятся на разреженной сетке с шагом :

.

Используя метод Рунге-Ромберга, уточнить полученное приближенное значение производной.

Решение:

Как мы уже выяснили в предыдущем примере, наша формула представляет собой приближенную формулу вида , если положить , , причем формула , как известно, имеет порядок точности .

Выберем , и запишем для рассматриваемого приближенного значения производной новое уточненное значение , получаемое по второй формуле Рунге:

.

Итак, новое приближенное значение производной , уточняющее старое приближенное значение , фактически вычисляется по формуле, порядок точности которой на 1 больше, чем у исходной формулы.