6.4. Тема 4. Численное интегрирование Задание 1

Вычислить приближенное значение с погрешностью, не превышающей , двумя способами:

1. Методом Симпсона, подобрав предварительно шаг интегрирования h, исходя из оценки погрешности для формулы Симпсона. Для вычисления значения интеграла можно выбрать любую технологию.

2. Методом трапеций с автоматическим выбором шага по правилу Рунге. Для вычисления приближенного значения интеграла составить свою программу. Систему программирования можно выбрать любую. В программе должен быть реализован метод повторного счета и обобщенная формула трапеций. Программа должна выдать приближенное значение интеграла с заданной точностью . Текст программы и полученный результат записать в отчете.

Задание 2

Вычислить точное значение интеграла и сопоставить его с полученными в предыдущих пунктах приближенными значениями. Найти точные значения погрешностей полученных приближенных значений интеграла (модули разностей между точным и приближенными значениями). Достигается ли заданная точность?

Варианты для выполнения заданий 1  2 взять из табл. 4.1.

Таблица 4.1

№ вар-та		a	b	№ вар-та		a	b
1		0	1	13		0	1
2		1	2	14		0	1
3		0	1	15		0	1
4		0	2	16		1	2
5		0	1	17		0	1
6		1	2	18		2	3
7		0	1	19		0	1
8		1	2	20		0	1
9		0	1	21		0	1
10		0	2	22		1	2
11		0	1	23		0	1
12		1	2	24		2	3

6.5. Тема 5. Численные методы решения обыкновенных

дифференциальных уравнений и систем

Задание 1

Дана задача Коши для одного дифференциального уравнения:

1. Решить эту задачу аналитически (найти её точное решение).

2. Составить программу, в которой была бы реализована вычислительная схема Рунге-Кутта 4 порядка точности. Текст программы записать в отчете.

3. С помощью составленной программы найти приближённое решение задачи Коши при N=5, а потом при N=10. Найти значение погрешности второго приближённого решения (при N=10) в узлах первой, более редкой сетки (при N=5), сравнив его с точным решением. Найти приближённую асимптотическую оценку погрешности второго приближённого решения (при N=10) по правилу Рунге в узлах первой, более редкой сетки (при N=5) и сопоставить её с точными значениями погрешности в этих узлах. Насколько точна асимптотическая оценка погрешности приближенного решения?

Варианты для выполнения задания 1 приведены в табл. 5.1.

Таблица 5.1

№ вар-та					№ вар-та
1	0	2	-1		13	1	2	0
2	1	3	0		14	1	2	0
3	0	1	1		15	1	2	0
4	0	1	0		16	1	2
5	0	1	0		17	1	2	1
6	0	2	0		18	0	2	1

Окончание табл. 5.1.

№ вар-та					№ вар-та
7	0	1	-1		19	1	2	1
8	0	1	-3		20	1	1.5	0
9	0	1	-1		21	1	2	1
10	1	2	1		22	0	1	1
11	0	1	1		23	0	1	1
12	0	1	1		24	0	1	1