Тема 4. Численное интегрирование.
Как ставится задача численного интегрирования? Что такое квадратурные формулы?
Как получаются квадратурные формулы Ньютона-Котеса?
Получите формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона (простые и обобщенные). Каков их геометрический смысл?
Получите оценку погрешности формулы трапеций (простой и обобщенной).
Найдите порядок точности формулы трапеций (простой и обобщенной).
Запишите оценки погрешности и порядки точности обобщенных формул прямоугольников, трапеций и Симпсона. Как используется эта информация для вычисления интеграла с заданной точностью?
Квадратурные формулы Гаусса.
Метод неопределенных коэффициентов.
Первая схема метода Монте-Карло.
Вторая схема метода Монте-Карло.
Табулирование первообразной.
Вычисление несобственных интегралов с бесконечными пределами.
Вычисление несобственных интегралов от неограниченных функций.
Вычисление кратных интегралов. Кубатурные формулы.
Тема 5. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений и систем.
Как ставится задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка? Что такое точное и приближенное сеточное решения задачи Коши? Что понимается под погрешностью приближенного решения?
Получите вычислительную схему Эйлера путём замены производной разностным отношением с помощью формулы численного дифференцирования.
Получите вычислительную схему Эйлера путём применения формул численного интегрирования.
Найдите оценку погрешности приближенного решения задачи Коши, полученного по схеме Эйлера.
Получите схему Рунге-Кутта второго порядка. Запишите общую схему метода Рунге-Кутта и схему четвертого порядка. Как применяется метод повторного счета?
Многошаговые методы. Методы Адамса.
Многошаговые методы. Методы прогноза и коррекции.
Как ставится задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений высших порядков и систем?
Что представляет собой приближенное сеточное решение задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений и его погрешность? Запишите схемы Эйлера и Рунге-Кутта для систем дифференциальных уравнений. Как оценивается погрешность приближенного решения?
Опишите баллистический метод решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.
Опишите разностный метод решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.
7.2. Практические задания Тема 1. Многочленная, кусочно-многочленная, сплайновая и обратная интерполяция.
1. Дана таблица значений некоторой функции :
x |
-1 |
0 |
1 |
2 |
y |
0 |
1 |
2 |
9 |
Построить по ней интерполяционный многочлен в форме Лагранжа.
2.
Дана таблица значений некоторой функции
:
x |
-1 |
0 |
1 |
2 |
y |
1 |
1 |
1 |
7 |
Построить по ней интерполяционный многочлен в форме Лагранжа.
3. Дана таблица значений некоторой функции :
x |
-1 |
0 |
1 |
2 |
y |
0 |
1 |
2 |
9 |
Построить по ней интерполяционный многочлен в форме Ньютона.
4. Дана таблица значений некоторой функции :
x |
-1 |
0 |
1 |
2 |
y |
1 |
1 |
1 |
7 |
Построить по ней интерполяционный многочлен в форме Лагранжа.
5. Дана таблица значений некоторой функции :
x |
-1 |
0 |
1 |
2 |
y |
0 |
1 |
2 |
9 |
Провести обратную интерполяцию, то есть построить
интерполяционный многочлен Ньютона .
6. Дана таблица значений некоторой функции :
x |
-1 |
0 |
1 |
2 |
y |
1 |
1 |
1 |
7 |
Провести обратную интерполяцию, то есть построить интерполяционный многочлен Ньютона .
7.
Дана функция
.
,
,
.
Приближение для функции строится в виде
некоторого интерполяционного многочлена
Лагранжа
.
Найти оценку погрешности этого
приближения как функцию х.
8.
,
Записать
интерполяционный многочлен Лагранжа
десятого порядка
построенный
по таблице значений этой функции, в
виде:
.
9. Дана таблица значений некоторой функции и её производной:
x |
-1 |
0 |
1 |
y |
0 |
1 |
2 |
|
|
0 |
|
Построить по ней интерполяционный многочлен Эрмита .
10. Дана таблица значений некоторой функции и её производных:
-
x
-1
0
1
y
3
2
3
0
0
Построить по ней интерполяционный многочлен Эрмита.
11. Дана функция , , , . Приближение для функции строится в виде некоторого интерполяционного многочлена Лагранжа или Эрмита. Найти оценку погрешности этого приближения на .
а)
функция приближается многочленом
Лагранжа
;
б) функция приближается многочленом Лагранжа ;
в)
функция приближается многочленом Эрмита
;
г)
функция приближается многочленом Эрмита
.