2. Практические работы (1-3)

2.1. Практическая работа № 1. Многочленная, кусочно-многочленная, сплайновая и обратная интерполяция

Для студентов специальности «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем» отведено 4 часа практических занятий, а для студентов специальности «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем»  2 часа.

План занятий:

1. Актуализация понятий обратимая и обратная функции, геометрического смысла обратимости, графика обратной функции, свойств таблицы значений обратимой и обратной функции, сплайн-функции.

2. Повторение постановок задач интерполяции с простыми и кратными узлами, интерполяционных формул Лагранжа, Ньютона и Эрмита, геометрического смысла интерполяции, оценок погрешности интерполяционных многочленов Лагранжа и Эрмита, кусочно-многочленной, сплайновой и обратной интерполяции.

3. Решение примеров.

4. Консультирование студентов по выполнению домашней работы.

Рассматриваемые примеры:

1. Дана таблица значений некоторой функции .

x	-1	0	1	2
y	-1	0	1	8

Построить по ней интерполяционный многочлен в форме Лагранжа и Ньютона. По этой же таблице провести обратную интерполяцию, то есть построить интерполяционный многочлен Ньютона . Сравнить полученные результаты.

Решение:

Подставим в общую формулу для многочлена Лагранжа значения (i=0,1,2,3) и приведем многочлен к стандартному виду.

0+

.

Запишем многочлен Ньютона в общем виде:

.

Найдем соответствующие разделенные разности и запишем их в таблицу.

, , , ,

, .

i
0	-1	-1
			1
1	0	0		0
			1		1
2	1	1		3
			7
3	2	8

Подставим в общую формулу значения и разделенные разности:

.

Проведем обратную интерполяцию, для чего построим теперь интерполяционный многочлен . Запишем его в общем виде:

.

Найдем разделенные разности и запишем их в таблицу.

, , , ,

, .

i
0	-1	-1
			1
1	0	0		0
			1
2	1	1
3	8	2

Подставим в общую формулу значения и разделенные разности:

_.

Графики уравнений , и = , , очевидно, различны, но довольно близки. Близость графиков связана с тем, что график многочлена есть приближение для графика функции , а график уравнения есть приближение для графика уравнения , совпадающего с графиком функции .

2. Дана таблица значений некоторой функции и её производной:

x	-1	0	1
y	-1	0	1
		0

Построить по ней интерполяционный многочлен Эрмита .

Решение:

Запишем многочлен Эрмита в общем виде:

= .

Найдем соответствующие разделенные разности и запишем их в таблицу.

, , , ,

, .

i
0	-1	-1
			1
1	0	0		-1
			0		1
1	0	0		1
			1
2	1	1

Подставим в общую формулу значения и разделенные разности. Получим:

= .

3. Дана функция . , . Строятся интерполяционный многочлен и многочлен Эрмита , которые используются в качестве приближений этой функции. Найти оценки погрешности этих приближений в точке .

Решение:

Оценка погрешности интерполяционного многочлена Лагранжа находится по формуле:

.

Здесь  верхняя граница на .

Оценка погрешности интерполяционного многочлена Эрмита находится по формуле:

.

Здесь  верхняя граница на .

Для дальнейших вычислений найдем постоянные и . Для этого найдем производные функции:

, , . Оценим модули старших производных на :

.

Здесь использовано свойство модуля (модуль суммы не превышает суммы модулей), а также то, что на выполнено: , , . Таким образом, =14.

. Здесь использовано также то, что . Таким образом, =38.

Теперь вычислим искомые оценки:

, .

4. Дана функция , . Отрезок делится на n равных частей точками . Вычисляются значения этой функции , . По полученной таблице значений функции строится интерполяционный многочлен Лагранжа , который используется для приближения функции .

Составить алгоритм для вычисления значения y интерполяционного многочлена по заданному значению x. Записать его на алгоритмическом языке.

Решение:

Исходные данные для алгоритма: функция , число отрезков разбиения n, аргумент функции x, концы отрезка a и b. Результат: значение многочлена Лагранжа y. В алгоритме используются два цикла. Внешний цикл – для вычисления суммы, а внутренний – для вычисления произведения. Массив не вводится. Значения непосредственно подставляются в формулы.

алг Интерполяционный многочлен (арг вещ x, a, b; цел n; рез вещ y)

нач цел i, j; вещ p, h

y:=0;

нц для i от 0 до n

p:=f(a+ih)

нц для j от 0 до n

если i j

то

все

кц

y:=y+p

кц

кон

5. Дана функция , . Отрезок делится на n равных частей точками . Вычисляются значения этой функции , . По полученной таблице значений функции строится интерполяционный сплайн. Составить алгоритм для вычисления значения y интерполяционного сплайна по заданному значению x.

Решение:

Исходные данные для алгоритма: функция , число отрезков разбиения n, аргумент функции x, концы отрезка a и b.

Результат:

Значение интерполяционного сплайна y. Последовательность действий описана в теории. Запишем ее с учетом условия равномерности сетки точек , из которой следует, что .

1. .

2. , .

3. , .

4. Решение следующей системы линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей:

,

, ,

.

Эта система совпадет со стандартным видом системы, которая решалась методом прогонки, если n заменить на M, заменить на (не перепутайте их с величинами, вычисляемыми в пункте 2 нашего алгоритма). При этом

, ,

, .

Поэтому решать эту систему целесообразно методом прогонки.

В результате решения системы будут найдены величины .

5. , .

6. , .

7. , .

8. , .

9. Вычисление номера отрезка, которому принадлежит значение аргумента x: .

10. Вычисление значения сплайна:

.