Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Брянский государственный университет им. академика И.Г. Петровского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Уч.пособие по ВМ для МОАиПО - копия.doc

Скачиваний:

Добавлен:

01.09.2019

Размер:

3.94 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1610 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

6.2. Тема 2. Наилучшее среднеквадратическое приближение. Тригонометрическая интерполяция. Наилучшее равномерное приближение Задание 1

Дана функция . Разложить эту функцию в тригонометрический ряд Фурье на . Изобразить график периодического (с периодом ) продолжения функции и график суммы ряда Фурье. Построить (с помощью Excel, например) на одном чертеже график функции и график , наилучшего среднеквадратического приближения для функции на в множестве тригонометрических многочленов n-ой степени при следующих значениях n: 1, 10, 50. Пронаблюдать явление Гиббса. Варианты для выполнения задания 1 взять из табл. 2.1.

Задание 2

Дана таблица значений, _, некоторой функции в точках , . Значения приближенные и имеют значительные погрешности.

Получить (используя, например, Excel) наилучшее среднеквадратическое приближение для функции в семействе линейных функций (найти a и b) методом наименьших квадратов, построить его график, показать на нем табличные точки .

Задание 3

Дана таблица значений , некоторой функции в точках , . Значения имеют значительные погрешности.

Для построения наилучшего среднеквадратического приближения функции методом наименьших квадратов подобрать наиболее подходящее параметрическое семейство функций среди следующих семейств нелинейных функций: , , , , , .

Получить (используя, например, Excel) наилучшее среднеквадратическое приближение функции в выбранном семействе нелинейных функций (вычислить коэффициенты a и b), а также построить график этого приближения, показать на нем табличные точки .

Таблица 2.1

№ варианта		№ варианта
1		13
2		14
3		15
4		16
5		17
6		18
7		19
8		20
9		21
10		22
11		23
12		24

Задание 4

Определить какое из двух, полученных при выполнении предыдущих заданий, приближений или является лучшим?

Варианты для выполнения заданий 2  4 взять из табл. 2.2.

Таблица 2.2

№

вар-та

1.73

2.56

3.39

4.22

5.05

5.87

6.70

7.53

0.63

1.11

1.42

1.94

2.30

2.89

3.29

3.87

Продолжение табл. 2 2

№ вар-та	_i	1	2	3	4	5	6	7	8
2		-4.38	-3.84	-3.23	-2.76	-2.22	-1.67	-1.13	-0.60
2		2.25	2.83	3.44	4.31	5.29	6.55	8.01	10.04
3		1.00	1.64	2.28	2.91	3.56	4.19	4.84	5.48
3		0.28	0.19	0.15	0.11	0.09	0.08	0.07	0.06
4		1.20	1.57	1.94	2.31	2.68	3.05	3.42	3.79
4		2.59	2.06	1.58	1.25	0.91	0.66	0.38	0.21
5		1.01	1.74	2.38	3.02	3.66	4.30	4.94	5.18
5		1.73	2.98	3.53	3.89	4.01	4.25	4.32	4.38
6		1.74	2.32	2.90	3.48	4.06	4.64	5.22	5.80
6		0.66	0.45	0.36	0.33	0.30	0.29	0.28	0.27
7		1.92	2.84	3.76	4.68	5.60	6.52	7.44	8.36
7		1.48	2.69	4.07	5.67	7.42	9.35	11.36	13.54
8		1.28	1.76	2.24	2.72	3.20	3.68	4.16	4.64
8		2.10	2.62	3.21	3.98	4.98	6.06	7.47	9.25
9		0.68	1.13	1.58	2.03	2.48	2.93	3.38	3.83
9		-2.16	-1.69	-1.36	-1.12	-0.95	-0.75	-0.65	-0.52
10		2.4	2.91	3.42	3.93	4.44	4.95	5.46	5.97
10		4.03	3.10	2.44	1.96	1.58	1.29	1.04	0.85
11		-4.84	-4.30	-3.16	-3.22	-2.68	-2.14	-1.60	-1.06
11		-0.09	-0.11	-0.13	-0.16	-0.19	-0.26	-0.39	-0.81
12		1.16	1.88	2.60	3.32	4.04	4.76	5.48	6.20
12		0.18	0.26	0.32	0.36	0.40	0.43	0.46	0.48
13		1.73	2.56	3.39	4.22	5.05	5.87	6.70	7.53
13		-0.63	-1.11	-1.42	-1.94	-2.30	-2.89	-3.29	-3.87
14		4.38	3.84	3.23	2.76	2.22	1.67	1.13	0.60
14		2.25	2.83	3.44	4.31	5.29	6.55	8.01	10.04
15		1.00	1.64	2.28	2.91	3.56	4.19	4.84	5.48
15		-0.28	-0.19	-0.15	-0.11	-0.09	-0.08	-0.07	-0.06
16		-1.20	-1.57	-1.94	-2.31	-2.68	-3.05	-3.42	-3.79
16		2.59	2.06	1.58	1.25	0.91	0.66	0.38	0.21
17		1.01	1.74	2.38	3.02	3.66	4.30	4.94	5.18
17		-1.73	-2.98	-3.53	-3.89	-4.01	-4.25	-4.32	-4.38
18		-1.74	-2.32	-2.90	-3.48	-4.06	-4.64	-5.22	-5.80
18		0.66	0.45	0.36	0.33	0.30	0.29	0.28	0.27

Окончание табл 2.2

№ вар-та	_i	1	2	3	4	5	6	7	8
19		1.92	2.84	3.76	4.68	5.60	6.52	7.44	8.36
19		-1.48	-2.69	-4.07	-5.67	-7.42	-9.35	-11.36	-13.54
20		-1.28	-1.76	-2.24	-2.72	-3.20	-3.68	-4.16	-4.64
20		2.10	2.62	3.21	3.98	4.98	6.06	7.47	9.25
21		-0.68	-1.13	-1.58	-2.03	-2.48	-2.93	-3.38	-3.83
21		-2.16	-1.69	-1.36	-1.12	-0.95	-0.75	-0.65	-0.52
22		2.4	2.91	3.42	3.93	4.44	4.95	5.46	5.97
22		-4.03	-3.10	-2.44	-1.96	-1.58	-1.29	-1.04	-0.85
23		-4.84	-4.30	-3.16	-3.22	-2.68	-2.14	-1.60	-1.06
23		0.09	0.11	0.13	0.16	0.19	0.26	0.39	0.81
24		-1.16	-1.88	-2.60	-3.32	-4.04	-4.76	-5.48	-6.20
24		0.18	0.26	0.32	0.36	0.40	0.43	0.46	0.48

6.3. Тема 3. Численное дифференцирование. Метод

Рунге-Ромберга

Задание 1

Построить (используя, например, табличный процессор Excel) таблицы значений функции , а также ее первой производной (предварительно вычисленной аналитически) на сетке с узлами ( , ). В табличных значениях сохранять 10 знаков после десятичной запятой. Эти таблицы использовать при выполнении заданий 2, 3, 4.

Задание 2

Используя формулу численного дифференцирования и построенную при выполнении предыдущего задания таблицу значений функции (с помощью, например, табличного процессора Excel), получить таблицу приближенных значений первой производной и абсолютной погрешности этих значений в точках ( , ).

Задание 3

Используя ту же формулу численного дифференцирования , только с удвоенным шагом, и построенную при выполнении первого задания таблицу значений функции (с помощью, например, табличного процессора Excel) получить таблицу приближенных значений первой производной и значений ее абсолютной погрешности в точках ( , ).

Задание 4

На основе таблиц приближенных значений первой производной, полученных при выполнении заданий 2 и 3, составить таблицу значений асимптотической оценки погрешности приближенного значения первой производной (см. метод Рунге-Ромберга), полученного в задании 2. Сопоставить значения асимптотической оценки погрешности и точные значения погрешности. Сделать выводы из этого сопоставления.

Варианты для заданий 1 – 4 взять из табл. 3.1.

Таблица 3.1