7. Контрольные вопросы и задания

7.1.Теоретические вопросы Тема 1. Многочленная, кусочно-многочленная, сплайновая и обратная интерполяция.

1. Как ставится задача интерполяции?

2. Получите формулу для вычисления интерполяционного многочлена в форме Лагранжа.

3. Докажите теорему о погрешности интерполяции. Запишите оценку погрешности интерполяции.

4. Дайте определения разделенных разностей. Докажите их свойства.

5. Получите интерполяционную формулу Ньютона. Опишите алгоритм вычисления интерполяционного многочлена Ньютона.

6. Кратные узлы интерполяции. Формулировка задачи интерполяции с кратными узлами.

7. Предел интерполяционного многочлена Ньютона при слиянии узлов.

8. Интерполяционная формула Эрмита. Оценка погрешности интерполяционного многочлена Эрмита.

9. Что такое обратная интерполяция и где она применяется?

10. Для чего нужна кусочно-полиномиальная интерполяция? Как производится кусочно-линейная интерполяция?

11. Что такое сплайны? Чем вызвана необходимость сплайновой интерполяции? Опишите построение кубического интерполяционного сплайна.

12. Многочлены Чебышева.

13. Чебышевские узлы интерполяции.

Тема 2. Наилучшее среднеквадратическое приближение. Тригонометрическая интерполяция. Наилучшее равномерное приближение.

1. Что представляют собой пространства и ?

2. Что такое ортогональная системы функций и ряды Фурье в евклидовом пространстве? Докажите, что наилучшее среднеквадратическое приближение функции в евклидовом пространстве представляет собой частичную сумму ряда Фурье. Запишите неравенство Бесселя и равенство Парсеваля. Что такое замкнутая система функций?

3. Как выглядит тригонометрический ряд Фурье? Каковы условия поточечной сходимости тригонометрических рядов Фурье? Как ведут себя приближения в окрестности точки разрыва функции (явление Гиббса)?

4. Ортогональные многочлены Лежандра. Ряд Фурье по системе многочленов Лежандра.

5. Опишите общую схему метода наименьших квадратов.

6. Как строятся полиномиальная и линейная аппроксимация по методу наименьших квадратов?

7. Как производится поиск наилучших приближений по методу наименьших квадратов в некоторых двухпараметрических семействах нелинейных функций: , , , , , .

8. Формулировка задачи интерполяции периодических функций тригонометрическими многочленами.

9. Решение задачи интерполяции периодических функций тригонометрическими многочленами. Дискретное преобразование Фурье. Оценка погрешности тригонометрической интерполяции.

10. Наилучшее равномерное приближение.

Тема 3. Численное дифференцирование. Метод Рунге-Ромберга.

1. Как получаются полиномиальные формулы численного дифференцирования?

2. Что такое порядок точности приближенной формулы? На что и как влияет величина порядка точности?

3. Получите оценки погрешности и определите порядки точности формул численного дифференцирования.

4. Опишите Метод Рунге-Ромберга. Получите первую и вторую формулу Рунге, а также асимптотическую оценку погрешности приближенной формулы. Как они используются? Что такое метод повторного счета (правило Рунге)? Приведите примеры.

5. Как влияют на погрешность формул численного дифференцирования неточно заданные табличные данные? В чем суть и причина возникновения разболтки?