Тема 2. Наилучшее среднеквадратическое приближение. Тригонометрическая интерполяция. Наилучшее равномерное приближение.
1. Разложить в тригонометрический ряд Фурье функцию . Изобразить график периодическго (с периодом ) продолжения функции . Установить к чему сходится ряд Фурье. Найти наилучшее среднеквадраническое приближение функции на в множестве тригонометрических многочленов 1-ой степени.
а)
;
б)
;
в)
.
2.
Найти наилучшее среднеквадратичное
приближение функции
,
определенной на отрезке
,
в семействе многочленов вида
.
а)
;
б)
;
в)
.
3.
Дана таблица значений
,
некоторой функции
.
Значения эти имеют значительные
погрешности. Методом наименьших квадратов
строится наилучшее приближение
в семействе нелинейных функций
.
Показать как строится это приближение.
Определить меру близости между
и
,
в смысле которой это приближение будет
наилучшим.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
4.
Построено два приближения
,
в разных семействах нелинейных или
линейных функций методом наименьших
квадратов. Как определить какое из них
является лучшим?
Тема 3. Численное дифференцирование. Метод Рунге-Ромберга.
1. Как организовать вычисление первой производной с использованием формул численного дифференцирования, имеющих первый порядок точности?
2. Как организовать вычисление первой производной с использованием формул численного дифференцирования, имеющих второй порядок точности?
3. Как организовать вычисление второй производной с использованием формул численного дифференцирования, имеющих второй порядок точности?
4.
Найти порядок точности и оценку
погрешности формулы
при условии, что функция
имеет ограниченную производную второго
порядка на
.
5.
Найти порядок
точности и оценку погрешности формулы
при условии, что функция
имеет ограниченную производную третьего
порядка на
.
6.
Найти порядок
точности и оценку погрешности формулы
при условии, что функция
имеет ограниченную производную третьего
порядка на
.
7.
Найти порядок точности и оценку
погрешности формулы
при условии, что функция
имеет ограниченную производную третьего
порядка на
.
8. Даны значения функции в точках ( ). На существует ограниченная производная функции второго порядка . Для вычисления приближенного значения первой производной функции в точке используется формула:
.
Найти асимптотическую оценку погрешности этого приближенного значения.
9.
Даны значения
функции
в точках
(
).
На
существует ограниченная производная
функции третьего порядка
.
Для вычисления приближенного значения
первой производной функции в точке
используется формула:
.
Найти асимптотическую оценку погрешности этого приближенного значения.
10. Даны значения функции в точках ( ). На существует ограниченная производная функции второго порядка . Для вычисления приближенного значения первой производной функции в точке используется формула:
.
Вычисление по этой формуле производятся на разреженной сетке с шагом :
.
Используя вторую формулу Рунге, уточнить полученное приближенное значение производной.
11. Даны значения функции в точках ( ). На существует ограниченная производная функции второго порядка . Для вычисления приближенного значения первой производной функции в точке используется формула:
.
Вычисление по этой формуле производятся на разреженной сетке с шагом :
.
Используя вторую формулу Рунге уточнить полученное приближенное значение производной.