Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

учебное пособие - теория графов

.pdf
Скачиваний:
444
Добавлен:
30.05.2015
Размер:
4.07 Mб
Скачать

Сорокина М.М.

Теория конечных графов и ее приложения

Учебное пособие для студентов направления подготовки бакалавров

010300.62 «Фундаментальная информатика и информационные технологии»

Б р я н с к Издательство «Курсив»

2 0 1 3

УДК 519.17

ББК 22.18 С 65

Учебное пособие издано на средства внутривузовского гранта №

62-Т

Рекомендовано к изданию кафедрой алгебры и геометрии Брянского государственного университета имени академика И.Г. Петровского.

Рецензенты:

Салихов В.Х., доктор физико-математических наук, профессор кафедры высшей математики Брянского государственного технического университета;

Коптюх Д.Г., кандидат физико-математических наук, доцент кафедры алгебры и геометрии Брянского государственного университета.

Сорокина М.М.

Теория конечных графов и ее приложения. Учебное пособие для студентов направления подготовки бакалавров 010300.62 «Фундаментальная информатика и информационные технологии». – Брянск: Издательство «Курсив», 2013. – 180 с.

ISBN

Учебник содержит теоретический материал по традиционным разделам теории конечных графов. В каждом разделе имеется практическая часть, включающая образцы решения типовых задач, а также систему упражнений для самостоятельной работы.

Учебник предназначен для студентов вузов направления подготовки бакалавров 010300.62 «Фундаментальная информатика и информационные технологии».

УДК 519.17 ББК 22.18

ISBN

© ФГБОУ ВПО «Брянский государственный университет имени академика И.Г. Петровского», 2013 © Сорокина М.М., 2013 © Издательство «Курсив», 2013

2

Оглавление

Предисловие.....................................................................................................

5

Введение ............................................................................................................

6

Глава I. Введение в теорию графов ........................................................

7

§ 1. Основные понятия теории графов ....................................................

7

§ 2. Вершины графа и их числовые характеристики .....................

13

§ 3. Регулярные и двудольные графы ....................................................

16

§ 4. Способы задания графов .......................................................................

19

§ 5. Операции над графами............................................................................

27

§ 6. Изоморфизм графов .................................................................................

35

§ 7. Маршруты графов .....................................................................................

39

§ 8. Отношение достижимости на множестве вершин графа ...

45

Глава II. Связные графы и их приложения .....................................

48

§ 9. Связные графы и их простейшие свойства. Критерий связ-

ности графа............................................................................................................

48

§ 10. Теоремы о разложении графа на связные компоненты ....

52

§ 11. Оценка числа ребер графа через число вершин и число

связных компонент...........................................................................................

57

§ 12. Эйлеровы графы.......................................................................................

60

§ 13. Гамильтоновы графы............................................................................

64

§ 14. Вершинно непересекающиеся и реберно непересекаю-

щиеся цепи.............................................................................................................

67

§ 15. Метрические характеристики связных графов......................

68

§ 16. Взвешенные связные неорграфы...................................................

70

§ 17. Сети .................................................................................................................

73

§ 18. Устойчивые множества и покрытия.............................................

77

Глава III. Деревья и их приложения....................................................

83

§ 19. Деревья и их простейшие свойства...............................................

83

§ 20. Характеризационная теорема для деревьев ............................

85

§ 21. Остовы графов...........................................................................................

89

3

 

§ 22. Фундаментальные циклы и фундаментальные разрезы

графов.......................................................................................................................

92

Глава IV. Планарные графы ....................................................................

96

§ 23. Плоские и планарные графы.............................................................

96

§ 24. Грани плоского графа ........................................................................

100

§ 25. Раскраска графов..................................................................................

104

Задачи и упражнения .............................................................................

111

Тема 1. Способы задания графов ...........................................................

111

Тема 2. Части и подграфы графа ............................................................

124

Тема 3. Операции над графами ...............................................................

125

Тема 4. Гомоморфизм графов ..................................................................

133

Тема 5. Нахождение маршрутов графа заданной длины ..........

136

Тема 6. Сильные компоненты графа.....................................................

139

Тема 7. Метрические характеристики связных графов ............

141

Тема 8. Нахождение в графах путей минимального и макси-

мального весов .................................................................................................

148

Тема 9. Фундаментальные циклы и фундаментальные разрезы

графов ...................................................................................................................

165

Тема 10. Нахождение остовов графа минимального и макси-

мального весов .................................................................................................

170

Тема 11. Укладка графов на плоскости ..............................................

173

Примерный перечень вопросов к зачету по учебной дисципли-

не «Теория конечных графов и ее приложения» ............................

175

Список литературы .................................................................................

179

4

Предисловие

Учебное пособие «Теория конечных графов и ее приложения» предназначено для студентов вузов направления подготовки бакалавров 010300.62 «Фундаментальная информатика и информационные технологии». Материал учебного пособия охватывает основные разделы теории конечных графов.

Учебное пособие включает четыре главы. В первой главе изучаются основы теории конечных графов. Здесь рассматриваются способы задания графов, унарные и бинарные операции над графами, маршруты графов, гомоморфизмы графов. Вторая глава посвящена связным графам: рассматриваются связные и сильно связные графы, теоремы о разложении графов на связные компоненты, эйлеровы и гамильтоновы графы, метрические характеристики связных графов, исследуется оценка числа ребер графа через число вершин и число компонент связности. В третьей главе изучаются деревья: рассматриваются основные свойства деревьев, характеристическая теорема для деревьев, исследуются остовы графов, рассматриваются фундаментальные циклы и фундаментальные разрезы графов относительно выбранного остова. Четвертая глава посвящена исследованию вопросов планарности графов. Здесь рассматриваются плоские и планарные графы, правильная раскраска графов, теорема Эйлера о гранях плоского графа, теорема Кенига о бихроматическом графе, теорема о пяти красках.

Каждый параграф содержит основные определения и утверждения темы, поясняющие примеры. Для углубленного изучения материала в конце учебного пособия приводится список рекомендуемой литературы. Параграфы глав сопровождаются кратким содержанием. Все основные теоремы курса приведены с подробными доказательствами. Во второй части учебного пособия приведены задачи и упражнения для практических занятий.

5

Введение

Теория графов является разделом современной дискретной математики. Ее возникновение относят к 1736 году. Родоначальником этой теории является Леонард Эйлер, который в 1736 году в Санкт-Петербурге опубликовал решение популярной в то время задачи о Кенигсбергских мостах. Кенигсберг (ныне Калининград) располагался на реке Прегель, и

отдельные части города были соединены семью мостами. Задача состояла в следующем: найти такую точку города, выйдя из которой, можно пройти по каждому мосту города, причем только один раз, и вернуться в нее обратно.

Эйлер доказал, что эта задача имеет отрицательное решение. Каждый мост Эйлер заменил линией, соединяющей точки, соответствующие берегам. В результате получился граф. Эйлером был установлен критерий существования в графе специального маршрута (эйлерова цикла).

Долгое время эти результаты оставались единственными в теории графов, и лишь в середине XIX века были получены новые результаты. А именно, Г. Кирхгофом в 1847 году была использована теория графов в теории электрических цепей (законы Кирхгофа). В 1857 году А. Келли разработал теорию де-

ревьев и применил ее к теории химических изомеров.

Хотя теория графов существует уже более 200 лет, ее интенсивное развитие приходится лишь на последние 50-60 лет. Это было вызвано широким использованием графов в экономике, химии, биологии, социологии, теории проектирования и мн. др. Для понятия «граф» в современной научной литературе нет единого определения. Разные авторы, исходя из поставленных целей, называют графом очень похожие, но все-таки различные объекты. Сам термин «граф» введен в употребление в 1936 году венгерским математиком Д. Кенигом. Терминология теории графов в настоящее время еще не устоялась, и понятийный аппарат в различных учебниках имеет существенные расхождения.

6

Глава I. Введение в теорию графов

§ 1. Основные понятия теории графов

Содержание параграфа

мультиграф, вершины и ребра мультиграфа, отображение инцидентности;

смежные вершины (ребра) мультиграфа;

кратные ребра мультиграфа; граф;

ориентированное (неориентированное) ребро, ориентированный (неориентированный) мультиграф, ориентированный (неориентированный) граф;

петля, псевдограф, простой граф;

конечный (бесконечный) граф, граф n-го порядка;

тривиальный граф, пустой граф, полный граф, число ребер полного графа n-го порядка;

граф как алгебраическая система;

часть графа, подграф графа.

Пусть

X

 

– некоторое множество. Напомним, что

X 2 X X a,b

 

a,b X – декартов квадрат множества X. Введем

 

следующие обозначения:

a,b – пара элементов, упорядоченная или неупорядоченная,

 

т.е. a,b a, b или a, b a, b ;

X 2

a,b | a,b X .

Определение 1.1. Мультиграфом называется совокупность трех объектов G V , R, f , где

V – непустое множество объектов, называемых вершинами мультиграфа G и обозначаемых на плоскости и в пространстве точками,

R – множество (возможно пустое) объектов, называемых ребрами мультиграфа G и обозначаемых на плоскости и в пространстве линиями,

f – отображение f : R V 2

– отображение, называемое ото-

бражением

инцидентности,

и

задаваемое

по

правилу:

 

 

 

7

 

 

u R, f u a,b линия, соответствующая ребру u, соединяет точки, соответствующие вершинам a и b.

Пример 1.1.

G V , R, f

 

V a,b,c,d

 

R u1 ,u2 ,u3

 

f : R V 2

 

f u1 a,b f u2 a,b f u3 c, d

Определение 1.2. Пусть G V ,R, f – мультиграф,

u R . Если

f u a,b , то вершины a и b и ребро u называются инцидентными. Вершины a и b называются также концами ребра u.

Определение 1.3.

1.Вершины a и b мультиграфа G называются смежными, если они инцидентны одному ребру, т.е. существует u R такое, что f u a,b .

2.Множество всех вершин графа G, смежных с вершиной a, называется

множеством смежности (окружением) вершины a и обозначается

N(a) (или Г(a) ).

Определение 1.4. Ребра u1 и u2 мультиграфа G называются смежными, если они инцидентны одной вершине.

8

Определение 1.5. Ребра u1 и u2 мультиграфа G V ,U, f называ-

ются кратными (параллельными), если f u1 f u2 .

Определение 1.6. Графом называется мультиграф, не имеющий кратных ребер.

Таким образом, граф – это частный случай мультиграфа. Замечание 1.1. Пусть G V , R, f – мультиграф. В общем случае

отображение f не обязано быть инъективным, т.е. возможно, что существуют ребра u1 ,u2 U такие, что u1 u2 , но f u1 f u2 . Если же f – инъективное отображение, то мультиграф G не имеет кратных ребер. Таким образом, справедливо следующее определение графа.

Определение 1.6'. Мультиграф G V , R, f называется графом, если f – инъективное отображение.

Важными видами мультиграфов являются ориентированные и неориентированные мультиграфы.

Определение 1.7. Ребро u мультиграфа G V ,U , f называется

ориентированным ребром или дугой, если f u a,b (т.е. f (u) V 2 ).

Дуги обозначаются стрелками. Пусть f u a,b . Вершина a называется началом дуги u, а вершина b концом дуги u. Говорят, что дуга u исходит из вершины a и заходит в вершину b.

9

Определение 1.8. Мультиграф называется ориентированным, если каждое его ребро является ориентированным. Мультиграф называется неориентированным, если каждое его ребро неориентировано.

Определение 1.9. Граф называется ориентированным (неориентированным), или, кратко орграфом (неорграфом), если он является ориентированным (неориентированным) мультиграфом.

Замечание 1.2. На каждое неориентированное ребро можно смотреть как на пару ориентированных ребер с противоположной ориентацией. Таким образом, изучение неориентированных графов можно свести к изучению ориентированных графов.

Определение 1.10. Ребро u мультиграфа G V , R, f называется петлей, если f u a, a , для некоторого a V .

Определение 1.11. Мультиграф G, имеющий петли, называется

псевдографом.

Определение 1.12. Граф G называется простым, если он не содержит петель.

Определение 1.13. Граф G называется конечным, если он содержит конечное число вершин. В противном случае граф G называется бесконечным. Если граф G содержит n вершин, то G называется графом n-

го порядка.

Определение 1.14. Граф G называется тривиальным, если он состоит из одной вершины.

Определение 1.15. Граф G называется пустым или полностью несвязным, если множество ребер графа G пусто.

Определение 1.16. Неорграф G без петель называется полным, если любые две различные вершины графа G являются смежными. Полный граф, имеющий n вершин, обозначается Kn.

10