Тема 4. Численное интегрирование.
1.
Подобрать шаг
интегрирования h
и число отрезков разбиения n
такие, чтобы приближенное значение
интеграла
,
вычисляемое по обобщенной формуле
средних прямоугольников, имело
погрешность, не превышающую
.
а)
;
б)
;
в)
.
2. Подобрать шаг интегрирования h и число отрезков разбиения n такие, чтобы приближенное значение интеграла , вычисляемое по обобщенной формуле левых прямоугольников, имело погрешность, не превышающую .
а) ; б) ; в) .
3. Подобрать шаг интегрирования h и число отрезков разбиения n такие, чтобы приближенное значение интеграла , вычисляемое по обобщенной формуле трапеций, имело погрешность, не превышающую .
а) ; б) ; в) .
4. Подобрать шаг интегрирования h и число отрезков разбиения 2m такие, чтобы приближенное значение интеграла , вычисляемое по обобщенной формуле Симпсона, имело погрешность, не превышающую .
а) ; б) ; в) .
5.
Подобрать шаг
интегрирования h
и число отрезков разбиения n
такие, чтобы приближенное значение
интеграла
,
вычисляемое по обобщенной формуле
трапеций, имело погрешность, не
превышающую
.
6.
Подобрать шаг
интегрирования h
и число отрезков разбиения 2m
такие, чтобы приближенное значение
интеграла
,
вычисляемое по обобщенной формуле
Симпсона, имело погрешность, не превышающую
.
7. Записать формулу Гаусса с 3-мя узлами для вычисления интеграла и найти оценку абсолютной погрешности вычисленного по этой формуле приближенного значения интеграла для случая, когда , , .
8.
Записать формулу Гаусса с 4 узлами для
вычисления интеграла
и найти оценку абсолютной погрешности
вычисленного по этой формуле приближенного
значения интеграла для случая, когда
,
,
.
9. Подготовить все необходимое для вычисления приближеного значения несобственного интеграла I с погрешностью, не превышающей .
а)
;
б)
.
10. Подготовить все необходимое для вычисления приближенного значения несобственного интеграла I с погрешностью, не превышающей .
а)
;
б)
.
Тема 5. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений и систем.
1. Решить аналитически задачу Коши:
а)
; б)
;
в)
.
2. Даны два приближенных решения задачи Коши, полученные с помощью схемы Рунге-Кутта 4 порядка точности.
Первое решение:
x= 0.0000000000E+00 u= 1.0000000000E+00
x= 5.0000000000E-01 u= 1.6484375000E+00
x= 1.0000000000E+00 u= 2.7173461914E+00
Второе решение:
x= 0.0000000000E+00 u= 1.0000000000E+00
x= 2.5000000000E-01 u= 1.2840169271E+00
x= 5.0000000000E-01 u= 1.6486994690E+00
x= 7.5000000000E-01 u= 2.1169580259E+00
x= 1.0000000000E+00 u= 2.7182099392E+00
Используя правило Рунге оцените погрешность второго решения в совпадающих узлах сеток.
3. Дана краевая задача:
,
.
Найти аналитически ее решение.
4. Дана краевая задача:
,
.
Опишите, каким образом можно вычислить приближенное решение этой краевой задачи баллистическим методом, имея в своем распоряжении программу, позволяющую получить приближенное решение любой задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с любой заданной точностью.
5. Найти аналитически точное решение задачи Коши:
