Глава II основные сведения по обработке результатов измерений

Обработка результатов измерений широко применяется при иссле­дованиях и в производственной практике, например, для анализа технологических процессов, установления технологических допус­ков, для определения статистических характеристик установочных и выборочных партий деталей, т. е. при статистическом контроле и регулировании качества продукции и т. п.

При изготовлении партии деталей неизбежно происходит рас­сеяние их размеров, выявляемое при измерениях. Оно может быть вызвано несовершенством оборудования, приспособлений, рабочих и измерительных инструментов, колебаниями режимов обработки, ошибками оператора и т. д. Поэтому результат измерения конк­ретной детали является случайной величиной. Случайной величи­ной является и погрешность размера детали, т. е. разность между заданным размером и результатом измерения.

Вследствие изложенного, для обработки результатов измерений, как и других случайных величин, используют методы теории веро­ятностей и математической статистики.

По способу получения числового значения измеряемой величи­ны измерения подразделяют на: прямые, при которых искомое значение величины находят не­посредственно из эмпирических (опытных) данных;

косвенные, при которых искомое значение величины находят на основании известной зависимости между этой величиной и ве­личинами, подвергаемыми прямым измерениям;

совокупные, представляющие собой производимые одновремен­но измерения нескольких одноименных величин, при которых иско­мые значения величин находят решением систем уравнений, полу­чаемых при прямых измерениях различных сочетаний этих величин.

В каждом параграфе главы приведены примеры с подробным решением. Конкретные же задачи, отличаясь от примеров лишь числовыми данными, должны строиться на результатах измерений, полученных студентами при выполнении лабораторных или научно-исследовательских работ.

§ 1. Числовые характеристики и законы распределения

Результаты измерений, как и другие случайные величины, ха­рактеризуются определенным законом распределения (функцией плотности вероятности). Плотность вероятности является пределом отношения вероятности попадания случайной величины х в некото­рый интервал к величине этого интервала при его неограниченном уменьшении. Функция плотности вероятности является произ­водной от интегральной функции распределения , описывающей вероятность того, что случайная величина будет меньше не­которого определенного значения.

Важнейшими числовыми характеристиками случайных величин являются математическое ожидание (центр распределения) М и дисперсия D, определяемые из выражений:

(II-1)

(II-2)

и характеризующие соответственно среднее значение и степень разброса случайной величины. Величина называется сред­ним квадратическим отклонением.

В области взаимозаменяемости и технических измерений наибо­лее часто встречаются следующие законы распределения:

а) нормальный (закон Гаусса); ему подчиняются случайные величины, на которые оказывает влияние большое число факторов, каждый из которых не является доминирующим и играет относи­тельно малую роль в общей совокупности (рис. П-1, а):

(II-3)

где е — основание натуральных логарифмов;

б) закон равной вероятности (равномерной плотности); ему подчиняются случайные величины, на которые оказывает влияние резко доминирующий фактор, равномерно изменяющийся в прост­ранстве или во времени; возможные значения случайных величин равновероятны и лежат в пределах некоторого интервала от а до b (рис. 11-1,б):

Для него: (II-4)

в) закон равнобедренного треугольника (Симпсона); ему под­чиняются случайные величины, на которые оказывают суммарное влияние два резко доминирующих фактора (рис. П-1, в):

Для него: (II-5)

г) закон Релея; ему подчиняются случайные величины, незави­симо распределяющиеся по ортогональным осям х и у по нормаль­ному закону с параметрами М_х = М_у = 0 и (рис. П-1, г):

(II-6)

этот закон можно ожидать для случаев: радиального биения двух номинально-соосных цилиндрических поверхностей, конусно­сти образующих цилиндрических поверхностей, неперпендикуляр­ности двух плоскостей или оси к плоскости, непараллельности двух плоскостей.