§ 6. Определение доверительных интервалов

Теоретические значения параметров распределения обычно бы­вают неизвестны. Вместо них используют их эмпирические оценки. Например, для двухпараметрического закона нормального распре­деления вместо теоретических значений М и применяются эмпи­рические оценки и S.

В ряде задач, особенно при малом числе измерений, требуется не только найти эмпирическую оценку для того или иного пара­метра, но и определить доверительный интервал, в котором с доверительной вероятностью будет находиться теоретическое значение параметра. Так, измерив размеры деталей из небольшой выбороч­ной партии и определив эмпирические значения среднего размера и среднего квадратического отклонения, следует установить дове­рительные границы, внутри которых будет находиться математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение размеров ге­неральной совокупности деталей. Для точного определения дове­рительного интервала обязательно знание вида закона распре­деления.

Для нормального закона распределения методика определения доверительных границ регламентирована ГОСТ 11.004—74 «При­кладная статистика. Правила определения оценок и доверительных границ для параметров нормального распределения». Стандарт содержит таблицы для определения верхней и нижней доверитель­ных границ при задании соответствующих значений односторонних доверительных вероятностей, в общем случае отличных друг от друга. На практике часто задают двустороннюю доверительную ве­роятность при равенстве односторонних вероятностей. В этом слу­чае на основании таблиц стандарта можно составить более простые таблицы, методика работы с которыми изложена ниже.

Доверительный интервал для математического ожидания опре­деляем из выражения:

(II-25)

Значения табулированы в зависимости от двусторонней дове­рительной вероятности и числа измерений N (см. приложе­ние IV).

Доверительный интервал для среднего квадратического откло­нения определяем из выражения:

(II-26)

Значения , табулированы (см. приложение V) и определя­ется в зависимости от числа измерений N и односторонних вероят­ностей , :

(II-27)

Значение определяем при вероятности , — при .

Пример 7. При обработке результатов измерений длины 20 де­талей получены следующие эмпирические оценки:

Определить доверительные интервалы для М и с двусторон­ней доверительной вероятностью 0,9.

Решение. Согласно приложению IV . Тогда

Согласно приложению V

; ;

§ 7. Определение границ диапазона рассеивания значений размеров и погрешностей

Определение границ диапазона рассеивания необходимо при установлении допусков, сравнительных исследованиях различных вариантов технологических процессов, определении погрешностей средства измерения и т. п. Рассмотрим два возможных случая: закон распределения и теоретические значения параметров распре­деления результатов измерений или погрешностей известны; пред­полагается некоторый вид функции распределения, известны лишь значения эмпирических характеристик и число измерений.

В первом случае, т. е. когда известны теоретические значе­ния параметров распределения, границы диапазона рассеивания определяем, исходя из допускаемого значения вероятности риска (брака) . Для нормального закона распределения наиболее рас­пространены значения 0,0027 и 0,0455, соответствующие вероятно­сти выхода случайной величины за границы соответственно и . Если число измерений превышает 100, доверитель­ные интервалы для параметров распределения оказываются столь малыми, что эмпирические оценки можно практически считать тео­ретическими значениями параметров.

Пример 8. Определить границы диапазона рассеивания значе­ний диаметров валиков по результатам измерений, согласно приме­ру 2, при вероятности риска 0,0027.

Решение. мм; мм;

мм; мм.

Пример 9. Определить границы диапазона рассеивания значе­ний диаметров валиков, согласно примеру 2, при = 0,001.

Решение. Здесь в выражении необходимо определить z. Для этого удобно использовать табулированные значения функ­ции:

(II-28)

приведенные в приложении II, при этом

(II-29)

Для ; ;

мм; мм.

Пример 10. Определить границы диапазона рассеивания значе­ний радиальных биений втулок, согласно примеру 1, при = 0,003.

Решение. В примере 5 показано, что рассматриваемые значе­ния радиальных биений распределяются по закону Релея с пара­метром = 0,061 мм. Учитывая вид закона распределения, значение нижней границы рассеивания естественно предположить равным нулю. Тогда значение верхней границы диапазона рассеивания со­ставит . Для определения z удобно использовать значения интегральной функции распределения для закона Релея, определяемые с использованием приложения 1и (П-23), при этом

(II-30)

Для =0,003 = 0,0012; =3,41;

= 0,208 мм.

Нередко возникает обратная задача, т. е. определение вероятно­сти риска, исходя из значений границ диапазона рассеивания. Обычно это происходит при оценке соответствия заданным предель­ным границам конкретных результатов измерений.

Пример 11. Определить вероятность риска при назначении сле­дующих предельных размеров:

мм; мм;

для диаметров валиков согласно примеру 2.

Решение.

; ; (II-31)

;

Согласно приложению II

Пример 12. Определить вероятность риска при назначении сле­дующих предельных размеров:

мм; мм;

для величин радиальных биений согласно примеру 1.

Решение. = 0,061 мм; .

Согласно приложению I ; .

Во втором случае, когда неизвестны теоретические значе­ния параметров распределения, при малом числе результатов из­мерений эмпирические оценки параметров распределения могут существенно отличаться от неизвестных теоретических значений. В этом случае не представляется возможным абсолютно надежно определить границы диапазона рассеивания, соответствующие ве­роятности (1— ), т. е. границы, включающие в себя (1— ) долю результатов измерений.

Если закон распределения предполагается нормальным, значе­ния границ можно определить лишь с некоторой надежностью (ве­роятностью) Р, меньшей единицы, как . Такие значения на­зывают толерантными пределами. Значения в зависимости от чис­ла измерений N, (1— ) и Р табулированы (см. приложение VI).

Пример 13. Определить, в каких границах с вероятностью 0,99 находится 90% доля результатов деталей согласно примеру 7.

Решение. Имеем N = 20; Р = 0,99; 1— = 0,90; = 40,015 мм; S = 0,007 мм.

Согласно приложению VI l = 2,66;

= 40,034 мм; =39,996 мм.