5.18 Бинарные деревья
Бинарное дерево определяется рекурсивно как имеющее левое поддерево, корень и правое поддерево. Левое и правое подде-ревья сами являются бинарными деревьями.
nil - пустое поддерево
а
/ \
b e
/ \ / \
c d
/ \ / \
Бинарное дерево представляется термом:
tree(L, K, R).
tree(tree(nil,c,nil),b,tree(nil,d,nil)) - так можно опи-
сать левое под-
дерево.
tree( tree( tree(nil,c,nil), b, tree(nil,d,nil) ),
a,
tree(nil,e,nil) )
Представление множеств в виде списков при большом числе элементов приводит к тому, что списковые целевые утверждения становятся неэффективными. Представление же множеств бинарными деревьями позволяет добиться лучших результатов. При этом бинарное дерево должно быть упорядочено. В этом случае вершины, находящиеся левее корня - < корня, а правее - > корня.
Упорядоченное дерево Неупорядоченное дерево
( сбалансированное )
d a
/ \ / \
b e b e
/ \ / \
a c c d
Дерево м. упорядочить различными способами:
Линейное дерево.
a ---- b ----- c ----- d ----- e -----
¦ ¦ ¦ ¦ ¦
В линейном дереве поиск идет медленнее, чем в сбалансированном, т.к. здесь имеет место обычный перебор.
Естественно, что наша цель - осуществить поиск в сбалансированном дереве. Но задача построения таких деревьев сложна сама по себе (см. Верт "Построение бинарных деревьев").
Все наши нижеследующие программы будут работать с несбалансированными деревьями, но мы будем считать, что чем больше входной список неупорядочен, тем он более сбалансирован.
Определим предикат
принадлежит(X,T) - истинно, если X принадлежит дереву Т
принадлежит(X,T) = true ,
если X-корень дерева Т;
если X<Кор ,то X принадлежит левому поддереву(L);
если X>Кор ,то X принадлежит правому поддереву(R);
принадлежит(X, tree(L,X,R)).
принадлежит(X, tree(L,K,R)):-
more(K,X), принадлежит(X, L).
принадлежит(X, tree(L,K,R)):-
more(X,K), принадлежит(X, R).
Т.о. видим, что каждый раз отсекается половина дерева, что является эффективным.
Дерево, состоящее из 1024 вершины :
линейный поиск - 512 вариантов.
поиск по бинарному дереву - 10 вариантов.
5.18.1 Построение бинарного дерева
Задача создания бинарного дерева путем добавления элемента Х к существующему бинарному дереву формулируется с.о.:
add(T,X,T1) - где T - исходное дерево
X - добавляемый элемент
T1 - новое дерево
Если Т=nil, то X-корень и T1=tree(nil,X,nil)
T<>nil,то Если X<Корень, то X добавить в Лд
Если X>Корень, то X добавить в Пд
add(nil,X, tree(nil,X,nil) ).
add(tree(L,K,R), X, tree(L1,K,R) ):-
more(K,X), add(L,X,L1).
add(tree(L,K,R), X, tree(L,K,R1) ):-
more(X,K), add(R,X,R1).
?- add(nil,a,T1), % T1 = tree(nil,a,nil)
add(T1,b,T2), % a>b? Да:
% T2 = tree( tree(nil,a,nil),b,nil )
add(T2,c,T3). % T3 = tree( tree( tree(nil,a,nil), b,
% nil), c,nil).
Мы получили упорядоченное линейное дерево. Чтобы дерево было нелинейным достаточно вводить вершины в другом порядке.