Министерство образования и науки Украины

Севастопольский национальный технический университет

Кафедра

Информационных систем

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

к курсовой работе

На тему: «Применение численных методов в информатике»

по дисциплине «Численные методы в информатике»

Выполнил:

ст. гр. И- 21д Овинников А. В.

Проверил:

Руководитель курсовой работы

Первухина Е.Л.

Севастополь

2011

СОДЕРЖАНИЕ

Введение.......................................................................................................................3

1 ВЫПОЛНЕНИЕ КУРСОВОЙ РАБОТЫ.................................................................4 1.1 Решение систем линейных уравнений......................................................4

1.1.1 Общие положения..........................................................................4

1.1.2 Метод исключения (метод Гаусса)................................................4

1.1.3 Компактная схема Гаусса (схема Холецкого)...............................6

1.1.4 Метод Гаусса – Жордана................................................................6

1.1.5 Метод простой итерации...............................................................7

1.1.6 Метод Зейделя................................................................................7

1.1.7 Полученные решения.....................................................................9

1.2 Интерполирование функций.....................................................................10

1.2.1 Общие положения........................................................................10

1.2.2 Интерполяционная формула Лагранжа......................................11

1.2.3 Сплайн-интерполяция..................................................................11

1.2.4 Полученные решения...................................................................11

3. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений......................12

1.3.1 Общие положения........................................................................12

1.3.2 Модифицированный метод Эйлера............................................12

1.3.3 Метод Рунге-Кутты......................................................................13

1.3.4 Полученные решения...................................................................13

4. Одномерная оптимизация.........................................................................14

1.4.1 Общие сведения............................................................................14

1.4.2 Полученные решения...................................................................15

1.5 Многомерная оптимизация.......................................................................16

1.4.1 Общие сведения............................................................................16

1.4.2 Полученные решения...................................................................16

2 ИСХОДНЫЕ ТЕКСТЫ...........................................................................................17

ЗАКЛЮЧЕНИЕ..........................................................................................................29

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК.......................................................................30

ВВЕДЕНИЕ

Целью курсового проектирования является закрепление, углубление и обобщение знаний, полученных в ходе изучения основных численных методов в информатике в предыдущем семестре, а также получение навыков работы с современными вычислительными пакетами.

Курсовое проектирование осуществляется по индивидуальным заданиям и включает следующие этапы:

- углубленное изучение численных методов;

- знакомство с вычислительными средствами, используемыми в современных информационных системах;

• построение алгоритмов и решение задач.

К численным методам (ЧМ), составляющим часть вычислительной математики, относятся такие методы решения задач, которые могут быть сведены к арифметическим действиям над числами. Для реализации на ЭВМ ЧМ должны быть устойчивыми и сходящимися.

Основной вопрос теории ЧМ – получение методов, удовлетворяющих требованиям высокой точности, устойчивости и экономичности. После применения ЧМ необходимо получить числовой результат с заданной точностью.

1 Выполнение курсовой работы

1.1 Решение систем линейных уравнений

1.1.1 Общие положения

Линейным называется уравнение, каждый член которого содержит только одно неизвестное, и каждое неизвестное входит в уравнение только в первой степени. Линейные системы уравнений обычно содержат линейных уравнений с неизвестными. Решение системы уравнений представляет набор значений неизвестных, удовлетворяющих одновременно всем уравнениям системы.

Для системы линейных уравнений возможны варианты решения:

решение существует и является единственным;

система уравнений не имеет решения;

система уравнений имеет бесчисленное множество решений.

Если система уравнений не имеет решений или имеет бесчисленное множество решений, она называется вырожденной и имеет определитель, равный нулю.

Численные методы решения систем линейных уравнений делят на прямые (конечные) и итерационные (бесконечные) методы.

Прямые методы позволяют с точностью до ошибок округления дать точное решение системы (если оно существует). Достоинством итерационных методов является то, что в них не накапливаются ошибки округления. Поэтому итерационные методы приводят к более точным результатам, чем прямые методы. Особенно это относится к решению плохо обусловленных систем.

Система уравнений

.

является плохо обусловленной, когда матрица плохо обусловлена и ее определитель близок к нулю. Следствием плохой обусловленности является то, что может произойти замена истинного решения ошибочным значением. Матрица называется плохо обусловленной или «почти вырожденной», если существует такая матрица , что при небольших возмущениях коэффициентов матриц или произойдут большие изменения в

.

Плохую обусловленность нелегко обнаружить. Если после повторного решения системы со слабо возмущенными коэффициентами ответ существенно отличается от первоначального, то имеет место плохая обусловленность системы.

1.1.2. Метод исключения (метод Гаусса)

Пусть дана система линейных уравнений с неизвестными:

Прямой ход. Пусть . После введения множителя

и вычитания из каждого -го уравнения первого, помноженного на получают преобразованную систему уравнений в виде

где и

Аналогично можно исключить из последних уравнений, затем из последних уравнений и т.д.

В результате получается треугольная система уравнений

Обратный ход осуществляется в соответствии с формулами

.

для .

Для решения системы нужно выполнить

умножений и делений. Примерно столько же потребуется сложений.

3. Компактная схема Гаусса (схема Холецкого)

Требуется решить линейную систему уравнений (4.1). Матрицу представляют в виде произведения нижней треугольной матрицы и верхней треугольной матрицы с единичной диагональю, т.е.

, (4.9)

где и .

На первом этапе решения находят и :

,

.

При выполнении вычислений по формулам применяют правило фиксации индексов: поочередно вычисляют столбец , затем строку и т.д. На втором этапе вычисляют вектор :

, .

и

.

Т.к. , а , то

.