1.1.4. Метод Гаусса – Жордана

Метод исключает обратный ход при решении системы методом Гаусса. Первый шаг исключения совершают обычным методом Гаусса, т.е. при умножают первое уравнение системы (4.4) на множители , , и вычитают из каждого -го уравнения. В результате получают систему

(4.16)

На втором шаге исключаютиз всех уравнений системы (4.16) кроме второго (в т.ч. и из первого уравнения). Для этого умножают второе уравнение системы (4.16) на множители, , , и вычитают из каждого -го уравнения системы. Получают систему уравнений

В итоге система (4.4) приводится к диагональному виду

,

откуда каждое значение находят путем только одного деления.

1.1.5. Метод простой итерации

Пусть дана линейная система, которую можно записать в виде матричного уравнения. И пусть диагональные коэффициенты системы .

Систему записывают в матричной форме

и решают методом последовательных приближений. За нулевое приближение принимают столбец свободных членов .

Любое -е приближение вычисляют как

.

Если последовательность приближений имеет предел , то этот предел – решение системы.

Достаточные условия сходимости процесса итераций. Для системы

процесс итерации сходится к единственному решению независимо от выбора начального приближения, если выполнены неравенства

,

т.е., если модули диагональных коэффициентов для каждого уравнения системы больше модулей всех остальных коэффициентов (без учета свободных членов).

1.1.6. Итерационный метод Зейделя

Рассматривается линейная система из трех уравнений с тремя неизвестными

.

Пусть , тогда по аналогии с методом простой итерации система может быть записана в виде

.

Используя первое приближение к решению системы

,

вычисляют новое значение :

.

Далее вычисляют новое значение :

.

Используя вычисленные значенияи, находят новое значение :

.

На этом заканчивается первая итерация.

Далее заменяют исходные значения на и вычисляют следующее приближение. В общем случае -е приближение определяется формулами:

.

Правило останова вычислений задают следующим образом:

1) по максимальным значениям абсолютных разностей

,

где – некоторое положительное число;

2) по максимальным значениям относительных разностей

при условии, что .

1.1.7 Полученные решения

ans =

Решение методом Гаусса:

gx =

-2.8981 -0.6836 4.1805 -0.9516

ans =

Погрешности:

ex =

[ .894884283678676721330088449852e-1, .41886419936425345883273508117116, -.3474691003020480824058774293738, -.17941010364581560941716176631249]

ans =

Решение методом Холецкого:

xh =

-2.8981 -0.6836 4.1805 -0.9516

ans =

Погрешности:

ex =

[ .894884283678685603114285451104e-1, .41886419936425579030108679399989, -.3474691003020507469411365297495, -.17941010364581649759558146643773]

ans =

Решение методом Гаусcа-Жордана:

xgj =

-2.8981 -0.6836 4.1805 -0.9516

ans =

Погрешности:

ex =

[ .894884283678676721330088449852e-1, .41886419936425301474352523110854, -.3474691003020480824058774293738, -.17941010364581649759558146643773]