4.1 Решение задач с помощью доказательства теорем

В этом случае задачи решаются следующим образом:

1. Задают множество аксиом, используя для этого условие задачи. Каждая аксиома – это некоторая формула.

2. Строят гипотезу относительно результата решения, и эту гипотезу также записывают в виде формулы. Гипотезу записанную в виде формулы называют целевым утверждением.

3. Комбинируют между собой исходные аксиомы и получают следствие. Итак поступают до тех пор, пока ее не подтвердят или не опровергнут. Этот процесс называют логическим выводом и его можно выполнять различными способами.

Если исходное множество аксиом обозначить как Ф₀, а конечное множество аксиом- ℱ, то представление задачи в виде доказательства теоремы – является запись вида:

Ф₀ ℱ

 - логическое следствие.

При доказательстве теорем используют часто метод доказательства от противного. В этом случае формулировка задачи доказательства теорем записывается следующим образом:

{Ф₀ ∪ ℱ}

попытаемся доказать, что это объединение - несовместное множество.

В 1965г. Робинсон разработал принципы резолюций, позволяющие автоматизировать доказательство теорем.

Прежде, чем определять принцип резолюций, все формулы, входящие в Ф₀ и ℱ д.б. приведены к форме предложений. Под предложением понимают дизъюнкцию литералов.

Литерал – это элементарная формула или ее отрицание.

Тогда множество Ф₀ может быть представлено в виде

{ L₁VL₂; L₂VL₃VL₄; …}

Прежде чем применить принцип резолюций нужно над формулами, входящими в Ф₀ выполнить тождественные преобразования.

4.2 Тождественные преобразования при доказательстве теорем

1. Исключение знаков импликаций из формул

AB=ĀVB

2. Уменьшение области действия операции отрицания, используя теоремы де Моргана.

3. Веполнение операции стандартизации переменной

Например: хР(х) xQ(x,y) , следовательно стандартизация переменной заключается в том, что делают так, чтобы каждый квантор был от новой переменной

хР(х) zQ(z,y)

4. Исключение квантора существования из формул.

Например: хyР(х,y)

Фраза “для всех x существует y” говорит о том, что y является функцией от х, т.е. можно указать, что

(*)y=g(x) (имеет место функциональная зависимость)

Тогда можно записать так хР(х, g(x))

(*) – называют функцией Сколема.

yР(х,y)≡ P(x,a)-функция Сколема нулевого порядка

y=a

5. Исключение квантора общности, т.к. формула истина для любых значений х, стоящих под знаком квантора общности.

6. Приведение формулы к совершенной конъюктивной нормальной форме

K₁K₂ … K_n ,каждый из членов представляет собой

K₁=L₁VL₂; …

Каждая К – дизъюнкция литералов (предложение).

Теперь можно перейти к Ф₀, которое является набором предложений.

Для перехода к Ф₀ надо исключить знаки ‘’ и поставить знак ‘,’ тогда получим набор предложений - Ф₀.

Ф₀ = { K₁,K₂,K₃, …,K_n }

После всех преобразований можно применить принцип резолюций.

Например:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

имеем

Множество будет состоять из

{ K₁,K₂,K₃ }