Р Дано: . Ешение:

В о всяком реальном колебательном контуре, обладающем сопротивлением , частота свободных электромагнитных колебаний меньше собственной частоты контура (т.е. частоты колебаний при ). Преобразуем искомое отношение: . Введем обозначение .

Подставим в формулу 24.2.5 для добротности контура , откуда . Таким образом, .

О твет: 0,5%.

24.3. Вынужденные электромагнитные колебания Резонансы напряжений и токов

В ынужденными электромагнитными колебаниями называются колебания, происходящие в колебательном контуре под воздействием внешней периодической силы. Рассмотрим реальный колебательный контур, содержащий периодическую э.д.с., равную (рис. 24.3.1).

Применим к контуру второе правило Кирхгофа:

.

Преобразуем полученную формулу к виду:

.

С учетом введенных обозначений , получим дифференциальное уравнение вынужденных колебаний:

. (24.3.1)

Решением данного уравнения является:

, (24.3.2)

где амплитуда вынужденных колебаний; разность фаз между внешней э.д.с. и вынужденными колебаниями.

Максимальная амплитуда вынужденных колебаний, равная

, (24.3.3)

наблюдается при частоте внешней э.д.с., равной резонансной частоте

. (24.3.4)

Формулу для амплитуды вынужденных колебаний можно выразить через параметры колебательного контура

. (24.3.5)

Различают резонанс напряжений и токов. Выше был рассмотрен резонанс напряжений, так как напряжение на конденсаторе пропорционально заряду конденсатора.

Исследуем резонанс токов. Для этого продифференцируем закон изменения заряда (формула 24.3.2) по времени:

. (24.3.6)

Амплитуда силы тока равна

. (24.3.7)

Резонанс токов наблюдается при частоте , которая не зависит, в отличие от частоты резонанса напряжений (формула 24.3.4) от коэффициента затухания (рис. 24.3.2). Значение тока при резонансе

. (24.3.8)

П ример 24.3.1. В цепи, содержащей последовательно соединенные конденсатор и катушку с активным сопротивлением, подключено внешнее переменное напряжение, частоту которого можно менять, не меняя его амплитуды. При частотах внешнего напряжения и амплитуды силы тока в цепи оказались одинаковыми. Определить резонансную частоту тока.

Р Дано: , , , . Ешение:

П од действием переменного напряжения в колебательном контуре установятся вынужденные электромагнитные колебания. Амплитуды силы тока при различных частотах изменения внешнего напряжения равны и . Они будут равны между собой при , или (1).

Так как сила тока достигает максимального (амплитудного) значения при резонансной частоте , то уравнение (1) можно записать в виде .

Решая это уравнение, получим .

О твет: .

24.4. Переменный ток

Установившиеся вынужденные электромагнитные колебания можно рассматривать как протекание в цепи, содержащей резистор, катушку индуктивности и конденсатор переменного тока. Для мгновенных значений переменного тока выполняются закон Ома и вытекающие из него правила Кирхгофа.

Рассмотрим процессы, происходящие на каждом элементе цепи.

1. Резистор в цепи переменного тока. Пусть сопротивление резистора , а и (рис. 24.4.1, а). Ток через резистор находим по закону Ома:

,

где амплитуда силы тока.

На рис 24.4.1, б показана векторная диаграмма амплитудных значений тока и напряжения на резисторе, сдвиг фаз между которыми равен нулю.

2. Катушка индуктивности в цепи переменного тока. Пусть катушка имеет индуктивность , а и (рис. 24.4.2, а).

Переменный ток, протекающий в цепи, вызовет появление э.д.с. самоиндукции

.

Закон Ома для рассматриваемой цепи будет иметь вид:

,

откуда

. (24.4.1)

Падение напряжение на катушке индуктивности

. (24.4.2)

Из выражения 24.4.1 следует, что . После интегрирования (учтем, что постоянная интегрирования равна нулю) получаем

, (24.4.3)

где . Величина

(24.4.4)

называется индуктивным сопротивлением.

Из выражения 24.4.4 вытекает, что для постоянного тока катушка индуктивности не имеет сопротивления. Подстановка значения в выражение 24.4.1 с учетом формулы 24.4.2 приводит к следующему значению падения напряжения на катушке индуктивности:

. (24.4.5)

На рис. 24.4.2, б показана векторная диаграмма амплитудных значений силы тока и напряжения на катушке индуктивности (падение напряжения опережает ток по фазе на ).

3. Конденсатор в цепи переменного тока. Пусть конденсатор имеет емкость , а и (рис. 24.4.3, а). Внешнее напряжение приложено к конденсатору, который перезаряжается. Заряд на обкладках меняется по закону:

.

В цепи протекает переменный ток

, (24.4.6)

где . Величина

(24.4.7)

называется емкостным сопротивлением.

Для постоянного тока , то есть постоянный ток через конденсатор течь не может. Падение напряжения на конденсаторе

. (24.4.8)

На рис 24.4.3, б показана векторная диаграмма амплитудных значений тока и напряжения на конденсаторе (падение напряжения отстает по фазе от тока на ).

4. Последовательно включенные резистор, катушка индуктивности и конденсатор в цепи переменного тока (рис. 24.4.4, а). Амплитуда приложенного напряжения равна векторной сумме амплитуд падений напряжений на всех элементах цепи (рис. 24.4.4, б). Из рисунка следует, что

. (24.4.9)

Амплитуда силы тока равна:

. (24.4.10)

Таким образом, если напряжение в цепи изменяется по закону , то в цепи течет ток

,

где и определяются по формулам 24.4.9 и 24.4.10 соответственно.

Величина

(24.4.11)

называется полным сопротивлением цепи, а величина

(24.4.12)

реактивным сопротивлением.

Если

, (24.4.13)

то угол сдвига между током и напряжением , то есть изменения тока и напряжения происходят синфазно. Этому условию удовлетворяет частота

. (24.4.13)

При такой частоте полное сопротивление цепи становится минимальным, равным активному сопротивлению цепи, а ток в цепи принимает максимальное значение. При этом , а падение напряжений на конденсаторе и катушке индуктивности одинаковы по амплитуде и противоположны по фазе. Это явление называется резонансом напряжений (последовательным резонансом), а частота (формула 24.4.13) – резонансной частотой.

5. Найдем мощность, выделяемую в цепи переменного тока. Мгновенное значение мощности переменного тока равно произведению мгновенных значений напряжения и силы тока

,

где , .

Поэтому

.

Найдем среднее значение мощности за время, равное периоду колебаний. Учитывая, что , , получим

. (24.4.14)

Из векторной диаграммы (рис. 24.4.4, б) следует, что . Следовательно,

.

Такую же мощность развивает постоянный ток . Величины

и (24.4.15)

называются соответственно действующими или эффективными значениями тока и напряжения. Все электроизмерительные приборы градуируются по действующим значениям тока и напряжения. С учетом выражений 24.4.15 средняя мощность равна

. (24.4.16)

Множитель называется коэффициентом мощности.

Из формулы 24.4.16 следует, что мощность в цепи переменного тока зависит не только от силы тока и напряжения, но и от сдвига фаз между ними. Если реактивное сопротивление равно нулю, то , и . Если цепь содержит только реактивное сопротивление, то и средняя мощность равна нулю при любых значениях тока и напряжения.

П ример 24.4.1. В цепь переменного тока с действующим значением напряжения последовательно включены проводник с активным сопротивлением и катушка индуктивностью . Определить частоту тока, если амплитудное значение силы тока в цепи .

Дано:

, , , .

Решение:

П о формуле 24.4.10 . Амплитудное значение напряжения можно выразить через действующее значение напряжения: . С учетом отсутствия конденсатора и , получаем , откуда .

Ответ: .

Пример 24.4.2. В цепь переменного тока с амплитудным значением напряжения и частотой включена катушка с активным сопротивлением. Сдвиг фаз между напряжением и током составляет . Определить индуктивность катушки, если известно, что она поглощает мощность .

Дано:

, , , .

Решение:

П о формуле 24.4.10 с учетом , получаем .

Так как по 24.4.9 , а мощность , то и . Получаем

Ответ: .

Рекомендуемая литература

1. Савельев И.В. Курс общей физики: Учебник для вузов. В 3-х т. Т.2: Электричество и магнетизм. Волны. Оптика. – М.: Наука, 2002. – 496 с.

2. Трофимова Т.И. Курс физики: Учеб. пособие для вузов. – 6-е изд. стереотипное. – М.: Высшая школа, 2002. – 542 с. Сивухин Д.В. Общий курс физики: Т. I. Механика. – 3-е изд. – М.: Физматлит, 2004. – 656 с.

3. Волькенштейн В.С. Сборник задач по общему курсу физики: Учеб. пособие для вузов. – М.: Наука, 2004. – 327 с.

4. Трофимова Т.И. Сборник задач курсу физики: Учеб. пособие для студентов. – М.: Высшая школа, 2002. – 303 с.

5. Трофимова Т.И., Павлова З.Г. Сборник задач по курсу физики с решениями. – М.: Высшая школа, 2005. – 591 с.

6. Волькенштейн В.С. Все решения к «Сборнику задач по общему курсу физики» В 2 кн. – Кн.1. – М.: АСТ, 1999. – 592 с.