22.9. Токи при размыкании и замыкании цепей

В озникновение э.д.с. самоиндукции при изменении силы тока в контуре сопровождается появлением дополнительных токов, называемых экстратоками. Согласно правилу Ленца, при выключении источника тока экстратоки имеют такое же направление, что и ослабевающий ток, при включении - противоположное нарастающему току.

Рассмотрим цепь, содержащую источник тока, э.д.с. которого , резистор сопротивлением R и катушку индуктивностью L (рис. 22.9.1). Внутренним сопротивлением источника тока пренебрегаем. Пусть ключ К находится в положении 2. В цепи течет постоянный ток .

1. В момент отключим источник тока (переведем ключ К в положение 1). Ток в катушке начнет уменьшаться, что приведет к возникновению э.д.с. самоиндукции: , препятствующей этому убыванию. В каждый момент времени ток в цепи определяется с помощью второго правила Кирхгофа: или

. (22.9.1)

Разделим переменные: , откуда

. (22.9.2)

Интегрирование и последующее потенцирование полученного выражения дает

. (22.9.3)

Скорость убывания тока определяется имеющей размерность времени величиной , называемой временем релаксации. Следовательно,

. (22.9.4)

Из формулы 22.9.4 следует, что время релаксации – это время, в течение которого сила тока уменьшается в е раз. Таким образом, чем больше индуктивность цепи и меньше ее сопротивление, тем медленнее спадает ток в цепи.

2. Рассмотрим случай замыкания цепи (переведем ключ К из положения 1 в положение 2). До тех пор, пока сила тока в цепи не достигнет установившегося значения, в цепи, кроме , будет действовать . По второму правилу Кирхгофа или

. (22.9.5)

Разделим переменные:

. (22.9.6)

Полученное линейное неоднородное дифференциальное уравнение отличается от выражения 22.9.2 правой частью. Общее решение уравнения можно получить, прибавив любое его частное решение к общему решению соответствующего однородного уравнения, которое известно (выражение 22.9.4).

Частное решение имеет вид: . Следовательно,

. (22.9.7)

Установление тока происходит тем быстрее, чем меньше индуктивность цепи и больше ее сопротивление.

На рис. 22.9.2 изображены графики изменения тока при замыкании и размыкании электрической цепи, содержащей индуктивность.

П ример 22.9.1. Обмотка соленоида состоит из одного слоя плотно прилегающих друг к другу витков медного провода. Диаметр провода , диаметр соленоида . По соленоиду течет ток . Определить, какое количество электричества протечет через обмотку, если концы ее замкнуть накоротко. Толщиной изоляции пренебречь.

Р Дано: , , . Ешение:

К оличество электричества , которое протекает по проводнику за время при силе тока , равно . Общее количество электричества, протекающее через проводник за время , будет , где ( значение силы тока в цепи до замыкания, сопротивление обмотки соленоида, индуктивность соленоида). При .

Для определения заряда, прошедшего через обмотку соленоида, надо найти и . По 22.8.2 , , где длина соленоида, сечение соленоида, удельное сопротивление провода, длина провода, сечение провода, диаметр провода, диаметр соленоида. Длина провода может быть выражена через диаметр соленоида , где число витков, тогда , но , т.к. витки плотно прилегают друг к другу. Поэтому , .

О твет: .