Аналогии между физическими величинами, характеризующими механические колебательные системы и электрические колебательные контуры (цепи)

МЕХАНИЧЕСКАЯ СИСТЕМА	ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЦЕПЬ
Масса	Индуктивность
Жесткость пружины	Величина, обратная электроемкости,
Коэффициент трения	Электрическое сопротивление
Сила	Э.д.с.
Смещение	Заряд
Скорость	Сила тока
Ускорение	Скорость изменения силы тока

П ример 24.2.1. В колебательном контуре в начальный момент времени напряжение на конденсаторе максимально. Через какую долю периода электромагнитных колебаний энергия магнитного поля, сосредоточенного в катушке, будет максимальной?

Решение:

В начальный момент напряжение на конденсаторе максимально, а сила тока в контуре равна нулю. Далее конденсатор начинает разряжаться через катушку и в контуре возникают гармонические колебания напряжения и заряда на конденсаторе, а также тока в катушке. Период всех этих колебаний одинаков и равен . Через четверть периода напряжение на конденсаторе обращается в нуль, а ток в катушке достигает максимального значения. Энергия магнитного поля катушки в этот момент также максимальна (рис. 24.1.2).

_{Рис. 24.1.2. Стадии колебательного процесса в идеальном контуре}

Ответ: .

Пример 24.2.2. Частота колебательного контура изменяется в диапазоне . Емкость конденсатора . Найти диапазон возможных индуктивностей катушки контура.

Р Дано: , . Ешение:

П ериод колебаний обратен по величине частоте колебаний: . По формуле Томсона . Следовательно, , откуда . Таким образом, , .

Ответ: .

Пример 24.2.3. Колебательный контур состоит из катушки с индуктивностью и конденсатора с емкостью . Определить максимальную силу тока в контуре, если максимальная разность потенциалов на обкладках конденсатора . Сопротивлением контура пренебречь.

Р Дано: , , . Ешение:

И з формулы 24.1.6 следует, что . Из формулы 24.1.5 следует, что , откуда . Таким образом, . Учитывая, что , находим .

О твет: .

24.2. Затухающие электромагнитные колебания. Добротность контура

В отличие от идеального контура, реальный колебательный контур содержит сопротивление R (рис. 24.2.1). Используем второе правило Кирхгофа:

.

Преобразуем это уравнение к виду:

.

Введем обозначения: , где коэффициент затухания и , где собственная частота контура. С учетом введенных обозначений получим дифференциальное уравнение затухающих колебаний:

. (24.2.1)

Решение данного уравнения имеет вид:

, (24.2.2)

г де частота затухающих колебаний, а величина

амплитуда затухающих колебаний, которая является убывающей функцией. Период затухающих колебаний равен

. (24.2.3)

Зависимость величины заряда на конденсаторе от времени показана на рис. 24.2.4.

Логарифмический декремент затухания равен

. (24.2.4)

Считая , получим .

Добротность контура

. (24.2.5)

В случае слабого затухания , получаем и , тогда

. (24.2.6)

Промежуток времени, в течение которого амплитуда колебаний уменьшится в е раз, называется временем релаксации. Рассчитаем время релаксации :

, откуда

. (24.2.7)

С учетом выражения 24.2.7 логарифмический декремент затухания равен

(24.2.8)

где число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в е раз.

Подставим найденное значение в формулу 24.2.5:

. (24.2.9)

Таким образом, добротность пропорциональна числу колебаний, совершаемых системой за время релаксации.

Сравнение формул 24.2.6 и 24.2.9 показывает, что добротность тем выше (колебания в контуре затухают медленнее), чем больше индуктивность контура L, меньше емкость конденсатора С и меньше сопротивление контура R.

Электромагнитные колебания в колебательном контуре можно сопоставить с механическими колебаниями пружинного маятника, сопровождающимися взаимными превращениями потенциальной и кинетической энергий маятника. Энергия электрического поля конденсатора аналогична потенциальной энергии маятника, энергия магнитного поля катушки кинетической энергии, сила тока в контуре – скорости движения маятника. Индуктивность L играет роль массы, сопротивление R – роль силы трения, действующей на маятник. При этом заряд на обкладках конденсатора q аналогичен смещению маятника из положения равновесия, а величина, обратная емкости С, аналогична жесткости пружины.

П ример 24.2.1. Добротность колебательного контура . Определить, на сколько процентов частота колебаний контура отличается от его собственной частоты.