Глава 24. Электромагнитные колебания. Переменный ток

24.1. Электромагнитные колебания в идеальном колебательном контуре

Э лектромагнитные колебания могут возникать в цепи, содержащей индуктивность и емкость. Такая цепь называется колебательным контуром. Идеальный колебательный контур состоит из конденсатора емкостью С и катушки индуктивностью L (рис. 24.1.1).

Если в катушке протекает ток, то в ней возникает э.д.с. самоиндукции, равная

.

Для контура справедливо второе правило Кирхгофа (алгебраическая сумма падений напряжений равна алгебраической сумме э.д.с., действующих в контуре), которое может применяться как для постоянного тока, так и для переменного тока.

Напряжение на конденсаторе , где – заряд на его обкладках. Поэтому

.

Согласно формуле 17.1.1, сила тока равна . Тогда

или .

После преобразования получим . Введем обозначения: и , где собственная частота контура.

. (24.1.1)

С учетом введенных обозначений, получим дифференциальное уравнение гармонических колебаний

. (24.1.2)

Примечание: формулу 24.1.2 можно получить при рассмотрении полной энергии контура. Пусть в момент времени заряд конденсатора q, а ток в контуре I. Полная энергия контура равна сумме энергий электрического и магнитного полей: , где энергия, сосредоточенная в электрическом поле конденсатора, а энергия, сосредоточенная в магнитном поле катушки. Таким образом, . Если сопротивление контура равно нулю, то полная энергия контура сохраняется: .

Найдем производную от полной энергии контура по времени: . Так как , то . Поскольку и , следовательно, , или, применяя подстановку 24.1.1, .

Решением этого уравнения является

. (24.1.3)

Величина называется амплитудой колебаний. Период колебаний находится по формуле Томсона:

. (24.1.4)

Таким образом, колебания в идеальном колебательном контуре происходят по закону косинуса (синуса) и являются гармоническими колебаниями.

Напряжение на конденсаторе

, (24.1.5)

где амплитуда напряжения.

Сила тока в контуре

. (24.1.6)

С опоставляя выражения 24.1.4 и 24.1.5, видим, что колебания тока опережают колебания напряжения (и заряда на обкладках) на : когда напряжение на конденсаторе, а, значит, энергия электрического поля, обращается в нуль, сила тока (и, следовательно, энергия магнитного поля), достигает максимального значения (рис. 24.1.1). Таким образом, электрические колебания в контуре сопровождаются взаимными превращениями энергий электрического и магнитного полей.

Примечание. При исследовании электромагнитных колебаний можно использовать тот факт, что колебания различной природы – механические и электромагнитные – подчиняются сходным закономерностям и между всеми величинами, входящими в уравнения колебаний, существуют аналогии (таблица 24.1).

Таблица 24.1