22.10. Энергия магнитного поля. Объемная плотность энергии магнитного поля

Рассчитаем энергию, запасенную в катушке, по которой протекает ток (рис. 22.10.1).

При замкнутом ключе (ключ К в положении 1) в соленоиде установится ток, который создает магнитное поле, сцепленное с витками соленоида. Магнитное поле, подобно электрическому, является носителем энергии. Есте-

ственно предположить, что энергия магнитного поля равна работе, которая затрачивается током на создание этого поля: , откуда

. (22.10.1)

Следовательно, энергия магнитного поля, сцепленного с витками соленоида, численно равна

. (22.10.2)

При переводе ключа К из положения 1 в положение 2 через сопротивление R некоторое время будет течь постепенно убывающий ток, поддерживаемый возникающей в контуре . Работа, совершаемая этим током, идет на нагревание внешнего сопротивления R и соединительных проводов и совершается за счет энергии магнитного поля, существовавшего в катушке.

Рассчитаем объемную плотность энергии магнитного поля бесконечно длинного соленоида

. (22.10.3)

Выражение 22.10.2 для объемной плотности энергии магнитного поля имеет вид, аналогичный формуле 16.8.1 для объемной плотности энергии электростатического поля, с той разницей, что электрические величины заменены магнитными. Необходимо отметить, что выражение 22.10.2 справедливо только для тех сред, для которых зависимость от линейная, то есть для диа- и парамагнетиков.

Если поле, создаваемое некоторым телом объема V неоднородно, то, аналогично выражению 16.8.2, его энергию можно найти с помощью разбиения на элементарные объемы dV, где поле однородно, нахождения энергий этих элементарных объемов, а потом интегрированием по всему объему

. (22.10.4)

П ример 22.10.1. На стержень из немагнитного материала длиной и сечением намотан в один слой провод так, что на каждый сантиметр длины стержня приходится витков. Определить энергию магнитного поля внутри соленоида, если сила тока в обмотке .

Р Дано: , , , . Ешение:

П о формуле 22.10.1 . Индуктивность соленоида в случае немагнитного сердечника зависит только от числа витков на единицу длины и от объема сердечника. По 22.8.2 . Следовательно, .

.

О твет: .

22.11. Явление взаимной индукции. Трансформаторы

Рассмотрим два контура с током, например, два круговых витка (рис. 22.11.1). Часть линий индукции поля, создаваемого контуром с током 1, будет проходить через контур 2, то есть будет сцеплена с этим контуром. И обратно, определенное число линий индукции, создаваемых контуром 2, будет сцеплено с контуром 1. Такие контуры называются магнитно связанными.

Индукция магнитного поля контура 1 пропорциональна силе тока I₁ в этом контуре. Поэтому магнитный поток через контур 2, создаваемый контуром 1, равен

. (22.11.1)

Коэффициент пропорциональности L₂₁ называется взаимной индуктивностью контуров 2 и 1.

Аналогично, магнитный поток через контур 1, создаваемый контуром 2, равен

, (22.11.2)

где взаимная индуктивность контуров 1 и 2.

Наличие магнитной связи между контурами проявляется в том, что при всяком изменении силы тока в одном из контуров, в другом появляется э.д.с. индукции. Явление возникновения э.д.с. в одном из контуров при изменении силы тока в другом, называется взаимной индукцией. Согласно закону Фарадея

и .

В заимная индуктивность контуров зависит от геометрической формы, размеров, взаимного расположения контуров и от магнитной проницаемости окружающей контур среды. Единица взаимной индуктивности та же, что и для индуктивности – генри (Гн). Можно показать, что для любых двух контуров взаимные индуктивности всегда равны:

.

Рассчитаем взаимную индуктивность двух катушек, намотанных на общий тороидальный сердечник, магнитная проницаемость которого (рис. 22.11.2).

Магнитная индукция поля, создаваемого первой катушкой (первичной обмоткой)

,

где длина сердечника (по средней линии).

Магнитный поток сквозь вторую катушку (вторичную обмотку)

. (22.11.3)

Сравнение формул 22.11.1 и 22.11.3 дает

.

Магнитная индукция поля, создаваемого вторичной обмоткой

.

Магнитный поток этого поля сквозь первичную обмотку

. (22.11.4)

Сравнение формул 22.11.2 и 22.11.4 дает

.

Таким образом, взаимная индуктивность двух катушек, намотанных на общий тороидальный сердечник,

. (22.11.5)

П ример 22.11.1. Два соленоида, имеющих индуктивность и , одинаковую длину и равное сечение, вставлены один в другой. Определить взаимную индуктивность соленоидов.