22.6. Явление электромагнитной индукции

Ранее было установлено, что вокруг проводника с током существует магнитное поле. Существует и обратный эффект: внешнее магнитное поле может возбуждать ток в проводнике.

В 1831 году Фарадей открыл явление электромагнитной индукции, заключающееся в том, что при изменении магнитного потока через поверхность, ограниченную проводящим контуром, в проводящем контуре возникает индукционный ток. Вызывающая его электродвижущая сила называется э.д.с. индукции и, как по-

казывает опыт, равна

, (22.6.1)

а установленная закономерность называется законом Фарадея или основным законом электромагнитной индукции. Физический смысл знака минус в этой формуле объясняет правило Ленца – индукционный ток всегда направлен так, чтобы своим магнитным полем препятствовать причине, его вызывающей (рис. 22.6.1).

Выведем формулу 22.6.1 для случая, когда изменяется площадь контура. Для этого рассмотрим находящийся в магнитном поле контур с одной подвижной стороной, которая перемещается внешней силой со скоростью (рис. 22.6.2).

На каждый электрон, принадлежащий подвижной стороне, действует сила Лоренца

,

направленная вдоль перемычки. Действие силы эквивалентно действию на электрон электрического поля

.

Циркуляция этого вектора по контуру (поле неэлектрического происхождения) дает величину э.д.с., индуцируемую в контуре:

.

При интегрировании учли, что все три вектора взаимно перпендикулярны, а подинтегральная функция отлична от нуля только на движущейся перемычке. Так как изменение площади контура за время равно , то

. (22.6.2)

Если контур состоит из нескольких витков (катушка), то ЭДС, возникающая в контуре, равна сумме э.д.с. индукции, возникающей в каждом витке:

,

где потокосцепление (полный магнитный поток).

Определим заряд, который пройдет через контур сопротивлением R, если магнитный поток, сцепленный с контуром, меняется от Ф₁ до Ф₂. Индукционный ток

равен . Таким образом, заряд, прошедший через катушку, равен

.

Рассмотрим случай, когда контур неподвижен, а изменение магнитного потока обусловлено изменениями индукции магнитного поля. Возникновение индукционного тока свидетельствует о том, что изменение магнитного поля вызывает появление в контуре сторонних сил. Эти сторонние силы не связаны ни с химическими, ни с тепловыми процессами в проводе. Они также не могут быть силами Лоренца, так как сила Лоренца не действует на неподвижные заряды. Можно предположить, что индукционный ток обусловлен возникающим в проводе электрическим полем. Обозначим напряженность этого поля через . Э.д.с. индукции равна циркуляции вектора по контуру:

.

С другой стороны, по закону Фарадея , следовательно,

(22.6.3)

П ри выводе формулы 22.6.3 учли, что . Контур и поверхность неподвижны, поэтому после преобразования правой части равенства 22.6.3 получим:

. (22.6.4)

Величина, стоящая в правой части равенства 22.6.4, отлична от нуля. Следовательно, поле не будет потенциальным, а будет, как и магнитное поле, вихревым. Линии напряженности поля замкнуты (рис. 22.6.3). Такое поле вызывает в проводнике движение электронов по замкнутым траекториям. Таким образом, углубленное истолкование явления электромагнитной индукции приводит к следующему выводу: всякое изменение магнитного поля вызывает появление вихревого электрического поля.

П ример 22.6.1. Самолет летит горизонтально со скоростью . При этом на концах крыла самолета возникает разность потенциалов . Вертикальная составляющая напряженности магнитного поля Земли . Какой размах имеет крыло самолета?

Дано:

,

,

.

Решение.

Р азность потенциалов, возникающая на концах крыла самолета, равна э.д.с. индукции, возникающей при изменении магнитного потока через площадь контура, описываемого при движении крыла самолета в магнитном поле Земли: (учли, что ). Следовательно, .

Ответ: .

Пример 22.6.2. Две гладкие металлические шины, расстояние между которыми , со скользящей перемычкой, которая может двигаться без трения, находятся в однородном магнитном поле с индукцией , направленном перпендикулярно плоскости контура. Перемычка массой скользит вниз с постоянной скоростью . Определить сопротивление перемычки.

Дано:

,

, ,

.

Решение.

П ри движении перемычки меняется площадь контура, следовательно, изменяется и магнитный поток, пронизывающий контур «шины – перемычка». Следовательно в контуре возникает э.д.с. индукции , модуль которой равен .

С другой стороны , где сила тока в перемычке, сопротивление перемычки. Поэтому .

Покажем силы, действующие на перемычку (рис. 22.6.4.). Так как перемычка движется равномерно, то сила тяжести уравновешивается силой Ампера: .

Учитывая, что , получим . Следовательно, .

Ответ: .

Пример 22.6.3. В однородном магнитном поле с индукцией равномерно вращается катушка, содержащая , с частотой . Площадь поперечного сечения катушки . Ось вращения перпендикулярна оси катушки и направлению магнитного поля. Определить максимальную э.д.с. индукции, возникающую в катушке.

Дано:

,

, ,

.

Решение.

П о закону Фарадея , где .

Угол между нормалью к плоскости витков и направлением магнитного поля изменяется со временем по закону: , где круговая частота.

Следовательно, .

Максимальное значение э.д.с. индукции принимает при и равно .

Ответ: .

Пример 22.6.3. В магнитное поле, изменяющееся по закону , помещена рамка площадью , причем нормаль к рамке образует с направлением поля угол . Определить значение э.д.с. индукции, возникающую в рамке в момент времени .

Дано:

,

, ,

.

Решение.

П о закону Фарадея , где .

,

.

Ответ: .