Информация о вкладах в банке для расчета средних значений

	Октябрь		Ноябрь
Вид вклада	Число вкладов, тыс., f	Средний размер вклада, тыс. руб. х	Сумма вкладов, млн. руб. М	Средний размер вклада, тыс. руб. х
До востребования	10	35	4,07	37
Срочный	8	40	3,87	43

В октябре известен средний размер вкладов каждого вида х и количество вкладов f. Следовательно, для расчета среднего размера вклада по двум видам применяем формулу средней арифметической взвешенной, тыс. руб.:

В ноябре известен средний размер вкладов каждого вида, а количество вкладов не известно, но зато имеются данные об общих суммах вкладов.

Путем деления сумм вкладов М каждого вида на их средний размер вклада х можно определить веса – число вкладов по их видам f, а затем определить средний размер вклада по двум видам по формуле средней арифметической.

Однако, если в расчете использовать среднюю гармоническую, то отпадает необходимость предварительного расчета весов – размеров вкладов по каждому виду, поскольку эта операция заложена в саму формулу. Средняя гармоническая взвешенная применяется, когда статистическая информация не содержит частот f по отдельным единицам совокупности, а представлена как произведение xf. Чтобы исчислить среднюю, обозначим xf=М, откуда f=w/x. Преобразуем формулу средней арифметической так, чтобы по имеющимся данным x и М можно было исчислить среднюю.

В формулу средней арифметической взвешенной вместо xf подставим М, вместо f – отношение М/x и получим формулу средней гармонической взвешенной:

Итак, средний размер вклада в ноябре по двум их видам находим по формуле средней гармонической взвешенной, тыс. руб.:

Пример 5. В результате проверки двух партий муки потребителям установлено, что в первой партии муки высшего сорта было 3942 кг., что составляет 70,4% общего веса муки этой партии. Во второй партии муки высшего сорта было 6520 кг., что составляет 78,6% общего веса муки этой партии. Определите процент муки высшего сорта в среднем по первой и второй партиям вместе.

Решение

Средний процент муки высшего сорта по двум партиям определяем по формуле средней гармонической взвешенной:

5.5. Средняя геометрическая

Пример 1. Предположим, Вы внесли деньги в банк на срочный депозит, процент по которому ежегодно изменяется в зависимости от ставки рефинансирования ЦБ. После каждого года сумма, равная процентному приросту, добавляется к сумме счета. Например, первоначальная сумма вклада составила 100 денежных единиц. За первый Вы получили 5% дохода по вкладу, за второй 7%, за третий 9% и за 4-й – 10%. Каков средний уровень дохода по вкладу за 4 года?

Можно сложить вычислить среднюю арифметическую величину дохода: . Верно ли это?

Ведем следующие условные обозначения: P – первоначальная сумма вклада, - доход по вкладу в первый, второй, третий и четвертый годы соответственно (в долях единиц), F – сумма вклада по истечении четырех лет.

Если первоначальная сумма вклада - Р, то после первого года она возрастает и становится . В конце второго года эта сумма составит . В конце третьего года: . По истечении четырех лет сумма составит

Если необходимо определить средний процент дохода i, который даст сумму дохода F по истечении четырех лет, при прибавлении ежегодного накопленного прироста к сумме вклада, то это будет величина, которая определится из следующего уравнения:

Решение этого уравнения находится по формуле:

,

где (i+1) - геометрическая средняя из (1+i1 ),(1+i2),(1+i3),(1+i4)).

Средний процент дохода по вкладу равен , что отличается от результата, полученного по средней арифметической.

Общий вид формулы средней геометрической невзвешенной:

Средней геометрической взвешенной:

(5.4)

Согласно правилу мажорантности средней, расчет по средней арифметической завышает результат, чем длиннее период расчета, тем больше будет ошибка.

Пример 2. В результате инфляции за первый год цена товара возросла в два раза к предыдущему году, а за второй год еще в три раза к уровню предыдущего года. Ясно, что за два года цена возросла в 6 раз. Каков средний темп роста цены за год? Арифметическая средняя здесь непригодна, поскольку, если за год цена выросла бы в (2+3)/2=2,5 раза, то за два года цена выросла бы в 2,5 *2,5 = 6,25, а не в 6 раз. Геометрическая средняя даст правильный ответ: раза.

Геометрическая средняя дает наиболее правильный по содержанию результат осреднения, если задача состоит в нахождении такого значения признака, который качественно был бы равно удален как от максимального, так и от минимального значения признака.

Пример 3. Максимальный выигрыш в лотерее составляет миллион рублей, а минимальный – сто рублей. Какую величину можно считать средней между миллионом и сотней? Арифметическая средняя явно непригодна, так как составляет 500050 рублей, а это, как и миллион, крупный, а никак не средний выигрыш. Геометрическая средняя в этом случае дает наиболее правильный с точки зрения экономики и логики ответ: руб.