§ 2. Векторный потенциал заданных токов

Р аз В определяется токами, значит, и А тоже. Мы хотим теперь выразить А через токи. Начнем с нашего основного уравнения (14.2):

о ткуда, конечно, следует

Э то уравнение для магнитостатики; оно похоже на уравнение

(14.13)

для электростатики.

Н аше уравнение (14.12) для векторного потенциала ста­нет еще более похожим на уравнение для , если перепи­сать X(X А), используя векторное тождество [см. уравне­ние (2.58) стр. 44]

(14.14)

П оскольку мы выбрали •А=0 (и теперь вы видите, по­чему), уравнение (14.12) приобретает вид

(14.15)

Фиг. 14.2. Векторный потенциал А в точке 1 определяется интегралом по элементам тока jdV во всех точках 2.

Это векторное уравнение, конечно, распадается на три урав­нения

и каждое из этих уравнений математически идентично уравнению

(14.17)

Все, что мы узнали о нахождении потенциала для извест­ного , можно использовать для нахождения каждой компо­ненты А, когда известно j!

В гл. 4 мы видели, что общее решение уравнения элект­ростатики (14.17) имеет вид

Т огда мы немедленно получаем общее решение для А_x:

(14.18)

и аналогично для А_у и A_z. (Фиг. 14.2 напоминает вам о при­нятых нами обозначениях для r₁₂ и dV₂.) Мы можем объ­единить все три решения в векторной форме:

(14.19)

(Вы можете при желании проверить прямым дифференцирова­нием компонент, что этот интеграл удовлетворяет •А=0, поскольку •j=0, а последнее, как мы видели, должно вы­полняться для постоянных токов.)

Мы имеем, таким образом, общий метод вычисления маг­нитного поля от постоянных токов. Принцип такой: x-компонента векторного потенциала, возникающая от плотности тока j, точно такая же, как электрический потенциал , который был бы создан плотностью зарядов р, равной j_x/c², и ана­логично для у- и z-компонент. (Этот принцип действует только для декартовых компонент. Например, «радиальная» компо­нента А не связана таким же образом с «радиальной» компонен­той j.) Итак, из вектора плотности тока j можно найти А, пользуясь уравнениями (14.19), т. е. мы находим каждую ком­поненту А, решая три воображаемые электростатические зада­чи для распределений заряда ₁=j_x/с², ₂=j_у/с² и ₃=j_z/с². Затем мы находим В, вычислив разные производные от А, входящие в ухА. Немного сложнее, чем в электростатике, но идея та же. Сейчас мы проиллюстрируем теорию, вычислив векторный потенциал в нескольких частных случаях.

§ 3. Прямой провод

В качестве первого примера снова вычислим поле прямого провода, которое мы находили в предыдущем параграфе, поль­зуясь уравнением (14.2) и соображениями симметрии. Возьмем длинный прямой провод радиуса а, по которому течет постоян­ный ток I. В отличие от заряда в проводнике в случае электро­статики постоянный ток в проводе распределен равномерно по поперечному сечению провода. При таком выборе координат, как показано на фиг. 14.3, вектор плотности тока j имеет только z-компоненту. По величине она равна

(14.20)

внутри провода и нулю вне его.

Поскольку j_х и j_y оба равны нулю, то сразу же получим

А_х = 0, А_у = 0.

Чтобы получить А_г, мож­но использовать наше ре­шение для электростати­ческого потенциала  от провода с однородной плотностью заряда =/_г/с².

Фиг. 14.3. Длинный цилинд­рический провод с однородной плотностью тока j, направлен­ный вдоль оси z.

Д ля точек вне бесконечного заряженного цилиндра электростатический потенциал равен

г де r'=(x²+y²), a , — заряд на единицу длины а². Следо­вательно, А_г должно быть равно

д ля точек вне длинного провода с равномерно распределен­ным током. Поскольку а²j_z=I то можно также написать

(14.21)

Теперь можно найти В, пользуясь (14.4). Из шести про­изводных от нуля отличны только две. Получаем

( 14.22)

,(14.23)

М ы получаем тот же результат, что и раньше: В обходит про­вод по окружности и по величине равен

(14.24).