§ 2. Двумерные поля; функции комплексного переменного

Комплексная величина з определяется так:

( Не перепутайте з с координатой z; координата z не встретится в дальнейшем, потому что зависимости полей от z не будет.) Тогда каждой точке на плоскости (х, у) отвечает комплексное число з. Мы можем считать з особой (комплексной) переменной величиной и с ее помощью записывать обычные математические функции F(з). Например,

Е сли дана некоторая определенная функция F(з), то можно подставить з=x+iy; получится функция от х и у с действи­тельной и мнимой частями. Например,

(7.3)

Л юбую функцию F(з) можно записать в виде суммы чисто дей­ствительной и чисто мнимой частей, и каждая из частей будет функцией от х и у:

(7.4)

г де U(x, у) и V(x, у) — действительные функции. Значит, из лю­бой комплексной функции F(з) можно произвести две новые функции U (х, у) и V(x,y). К примеру, .F(з) = з² дает две функ­ции:

(7.5)

и

(7.6)

Мы подошли сейчас к удивительной математической теореме, столь прекрасной, что доказательство ее придется отложить до соответствующего математического курса. (Если мы начнем заранее приоткрывать все тайны математики, она покажется вам потом скучной.) Теорема эта состоит вот в чем. Для любой «нормальной» функции (что это такое, математики вам объяснят лучше) функции U и V автоматически удовлетворяют соотно­шениям

(7.7)

и

(7.8)

О тсюда немедленно следует, что каждая из функций U и V удовлетворяет уравнению Лапласа:

( 7.9)

(7.10)

Сразу видно, что для функций (7.5) и (7.6) эти уравнения выполняются.

Значит, всегда, отправившись от какой угодно обычной функции, можно прийти к двум функциям U (х, у) и V (х, у), которые обе есть решения двумерного уравнения Лапласа. Каждая функция представляет некоторый электростатический потенциал. Любая выбранная нами функция F(з) обязана снаб­дить нас решением какой-то задачи из электростатики, вернее даже двух задач, потому что решением является как U, так и V. Так можно выписать сколько угодно решений: просто напридумывать множество функций и останется только найти задачи с такими решениями. Такой подход к задачам вполне допустим, хоть он и производится задом наперед.

Для примера посмотрим, к какой физической задаче приве­дет нас функция Р(з)=з². Из нее мы получаем две потенциаль­ные функции (7.5) и (7.6). Чтобы увидеть, какую задачу решает функция U, мы найдем эквипотенциальные поверхности, пола­гая V равным постоянному числу А:

х²-у² = А.

Это уравнение прямоугольной гиперболы. Перебирая разные значения А, мы получаем семейство гипербол, начерченное на фиг. 7.1. Когда A=0, то гиперболы вырождаются в пару диагоналей, проходящих через начало.

Такое семейство эквипотенциальных поверхностей встре­чается в нескольких физических задачах. В одной из них оно изображает детали структуры поля возле точки между двумя одинаковыми точечными зарядами.

Фиг. 7.1. Два семейства ортогональных кривых, которые могут представлять собой эквипотенциаль­ные линии двумерного электростатического поля.

В другой оно изображает поле внутри прямого угла, образованного двумя проводящими плоскостями. Если есть два электрода, изогнутых так, как по­казано на фиг. 7.2, и имеющих разные потенциалы, то поле внутри угла С будет выглядеть в точности так же, как поле около начала координат на фиг. 7.1.

Фиг. 7.2. Поле возле точки С такое же, как на фиг. 7.1.

Фиг. 7.3. Поле квадрупольной линзы.

Сплошные линии — это эквипотенциальные поверхности, а пересекающие их штрихо­вые — это линии поля Е. Вблизи острия или выступа электри­ческое поле повышается, а возле впадины или отверстия оно слабеет.

Н айденное нами решение отвечает также гиперболическому электроду, помещенному около прямого угла, или двум гипер­болам при соответствующих потенциалах. Заметьте, что поле фиг. 7.1 имеет интересное свойство. Составляющая х электри­ческого поля Е дается выражением

т. е. электрическое поле пропорционально расстоянию от оси координат. Этот факт был использован, чтобы создать устрой­ство (называемое квадрупольной линзой), необходимое для фокусирования пучков частиц (см. вып. 6, гл. 29, § 9). Фокуси­рующее поле обычно получают с помощью четырех гипербо­лических электродов, изображенных на фиг. 7.3. Проводя здесь линии электрического поля, мы просто перечертили с фиг. 7.1 семейство штриховых кривых V=const. Эти линии достались нам совершенно бесплатно! Кривые V=const перпендикулярны к кривым U=const, как это следует из уравнений (7.7) и (7.8). Как только мы выбираем функцию F(з), то получаем из U и V сразу же эквипотенциальные линии и линии поля. Мы дав­но знаем, что можно решить на выбор любую из двух задач, смотря по тому, какое семейство кривых мы примем за экви­потенциальное.

Другим примером послужит функция

(7.11)

Если мы напишем

г де

и

т о

откуда следует

Кривые U (х, у) =А и V (х, у) = В, где U и V взяты из уравнения (7.12), проведены на фиг. 7.4. И здесь тоже можно назвать немало случаев, описываемых этими полями. Один из самых интересных — это поле у края тонкой пластинки. Если линия В=0 направо от оси у изображает тонкую заряженную пластину, то линии поля близ нее даются кривыми с различными А.

Фиг. 7.4. Кривые постоянных U(x, у) и V(x, у) ив уравнения (7.12).

Фиг. 7.5. Электрическое поле возле края тонкой за­земленной пластины.

Физическая картина показана на фиг. 7.5. Дальнейшие примеры — это функция

(7.13)

дающая нам поле снаружи прямого угла, функция

(7.14)

дающая поле заряженной нити, и функция

(7.15)

изображающая поле двумерного аналога электрического ди­поля, т. е. двух параллельных прямых, заряженных противо­положным знаком и помещенных вплотную друг к другу.

Больше этим вопросом в нашем курсе мы заниматься не бу­дем; мы должны только подчеркнуть, что, хотя техника комп­лексных переменных часто оказывается очень мощной, она ограничена все же только двумерными задачами; к тому же это все-таки косвенный метод.