- •Глава 1
- •§ 2. Электрические и магнитные поля
- •§ 3. Характеристики векторных полей
- •§ 4. Законы электромагнетизма
- •§ 5. Что это такое — «поля»?
- •§ 6. Электромагнетизм в науке и технике
- •Дифференциальное исчисление векторных полей
- •§ 2. Скалярные и векторные поля — т и h
- •§ 3. Производные полей — градиент
- •Выбрав удобную систему координат, мы можем написать
- •§ 4. Оператор
- •§ 5. Операции с
- •У равнения Максвелла
- •§ 6. Дифференциальное уравнение потока тепла
- •Е сли площадь этой плиты а, то поток тепла за единицу времени равен
- •§ 7. Вторые производные векторных полей
- •§ 8. Подвохи
- •§ 2. Поток векторного поля
- •§ 3. Поток из куба; теорема Гаусса
- •§ 4, Теплопроводность; уравнение диффузии
- •§ 5. Циркуляция векторного поля
- •§ 6. Циркуляция по квадрату; теорема Стокса
- •§ 7. Поля без роторов и поля без дивергенций
- •§ 8. Итоги
- •Магнитостатика
- •§ 2. Закон Кулона; наложение сил
- •Закон Кулона
- •§ 3. Электрический потенциал
- •Э лектростатический потенциал
- •§ 5. Поток поля е
- •§ 6. Закон Гаусса; дивергенция поля е
- •§ 7. Поле заряженного шара
- •§ 8. Линии поля; эквипотенциальные поверхности
- •§ 2. Равновесие в электростатическом поле
- •§ 3. Равновесие с проводниками
- •§ 4. Устойчивость атомов
- •§ 5. Поле заряженной прямой линии
- •§ 6. Заряженная плоскость; пара плоскостей
- •§ 7. Однородно заряженный шар; заряженная сфера
- •§ 8. Точен ли закон Кулона?
- •§ 9. Поля проводника
- •§ 10. Поле внутри полости проводника
- •Электрическое поле в разных физических условиях
- •§ 2. Электрический диполь
- •§ 3. Замечания о векторных уравнениях
- •§ 4. Диполъный потенциал как градиент
- •§ 5. Дипольное приближение для произвольного распределения
- •§ 6. Поля заряженных проводников
- •§ 7. Метод изображений
- •§ 8. Точечный заряд у проводящей плоскости
- •§ 9. Точечный заряд у проводящей сферы
- •§ 10. Конденсаторы; параллельные пластины
- •§ 11. Пробой при высоком напряжении
- •§ 12. Ионный микроскоп
- •Электрическое поле в разных физических условиях (продолжение)
- •§ 2. Двумерные поля; функции комплексного переменного
- •§ 3. Колебания плазмы
- •§ 4. Коллоидные частицы в электролите
- •§ 5. Электростатическое поле сетки
- •§ 2. Энергия конденсатора. Силы, действующие на заряженные проводники
- •§ 3. Электростатическая энергия ионного кристалла
- •§ 4. Электростатическая энергия ядра
- •§ 5. Энергия в электростатическом поле
- •§ 6. Энергия точечного заряда
- •§ 2. Электрические токи в атмосфере
- •§ 3. Происхождение токов в атмосфере
- •§ 4. Грозы
- •§ 5. Механизм распределения зарядов
- •§ 6. Молния
- •§ 2. Вектор поляризации р
- •§ 3. Поляризационные заряды
- •§ 4. Уравнения электростатики для диэлектриков
- •§ 5. Поля и силы в присутствии диэлектриков
- •§ 2. Электронная поляризация
- •§ 3. Полярные молекулы; ориентационная поляризация
- •§ 4. Электрические поля в пустотах диэлектрика
- •Следовательно, если поле внутри однородного диэлектрика мы назовем е, то можно записать
- •§ 5. Диэлектрическая проницаемость жидкостей; формула Клаузиуса — Моссотти
- •§ 6. Твердые диэлектрики
- •§ 7. Сегиетоэлектричество; титанат бария
- •Электростатические аналогии
- •§ 2. Поток тепла; точечный источник вблизи бесконечной плоской границы
- •§ 3. Натянутая мембрана
- •§ 4. Диффузия нейтронов; сферически-симметричный источник в однородной среде
- •§ 5. Безвихревое течение жидкости; обтекание шара
- •§ 6. Освещение; равномерное освещение плоскости
- •§ 7. «Фундаментальное единство» природы
- •Глава13
- •§ 2. Электрический ток; сохранение заряда
- •§ 3. Магнитная сила, действующая на ток
- •§ 4. Магнитное поле постоянного тока; закон Ампера
- •§ 5. Магнитное поле прямого провода и соленоида; атомные токи
- •§ 6. Относительность магнитных и электрических полей
- •§ 7. Преобразование токов и зарядов
- •§ 8. Суперпозиция; правило правой руки
- •§ 2. Векторный потенциал заданных токов
- •Это векторное уравнение, конечно, распадается на три уравнения
- •§ 3. Прямой провод
- •§ 4. Длинный соленоид
- •§ 5. Поле маленькой петли; магнитный диполь
- •§ 6. Векторный потенциал цепи
- •§ 7. Закон Био— Савара
§ 5. Электростатическое поле сетки
Напоследок мы хотим изложить еще одно интересное свойство электрических полей. Оно используется в электрических приборах, электронных лампах и для других целей. Речь идет о поведении электрического поля близ сетки, составленной из заряженных проволочек. Чтоб упростить задачу, возьмем плоскую систему параллельных проволочек бесконечной длины, промежутки между которыми одинаковы.
Если мы посмотрим на поле где-то высоко над плоскостью проволочек, перед нами предстанет однородное электрическое поле, такое, словно заряд распределен на плоскости равномерно. По мере приближения к сетке начнутся отклонения от прежней однородности. Мы хотим оценить, насколько близко от сетки появятся заметные изменения в потенциале.
Фиг. 7.8. Эквипотенциальные поверхности над однородной сеткой из заряженных проволочек.
На фиг. 7.8 показано примерное расположение эквипотенциальных поверхностей на разных расстояниях от сетки. Чем ближе к сетке, тем сильнее колебания. Двигаясь параллельно сетке, мы заметим, что поле изменяется периодически.
Мы уже знаем (см. вып. 4, гл. 50), что любая периодическая величина может быть представлена в виде суммы синусных волн (теорема Фурье). Посмотрим, нельзя ли найти подходящую колебательную функцию, которая удовлетворяет нашим уравнениям поля.
Е сли проволочки лежат в плоскости ху параллельно оси y, то можно попробовать испытать члены вида
(7.41)
г де а — расстояние между нитями, а n — число колебаний. (Мы предположили, что нити эти очень длинные, так что никаких изменений по у не заметно.) Полное решение должно состоять из суммы таких членов при n=1, 2, 3... Чтоб получился правильный потенциал, оно должно в области над сеткой (где зарядов нет) подчиняться уравнению Лапласа, т. е.
Испытывая этим уравнением функцию из (7.41), мы получаем
(7.42)
т.е. Fn(z) должно удовлетворять условию
(7.43)
И так, должно быть
(7.44)
(7.45)
Мы обнаружили, что если имеется компонента Фурье n-й гармоники поля, то эта компонента должна убывать по экспоненте с высотой, причем характерным расстоянием является z0=a/2n. Амплитуда у первой гармоники (n=1) уменьшается в е2 раз (очень резкое падение) каждый раз, когда мы удаляемся от сетки на величину одного промежутка а. Другие гармоники убывают еще быстрее. Мы видим, что уже на расстоянии в несколько а сетка кажется почти однородной, т. е. колебания поля очень малы. Конечно, всегда остается «нулевая гармоника» поля
0=-E0z.
которая и дает однородное поле при больших z. Для полного решения нужно добавить этот член к сумме членов вида (7.41) с Fn из (7.44) , причем каждый член надо взять с коэффициентом Аn . Эти коэффициенты выбираются так, чтобы после дифференцирования получилось поле, согласующееся с плотностью зарядов К на проволочках сетки.
Развитым нами методом можно объяснить, почему электростатическая защита с помощью сетки ничуть не хуже сплошных листов металла. Поле за сеткой равно нулю всюду, за исключением промежутка у самой сетки, не превышающего по размерам нескольких ее ячеек. Мы видим, что медная сетка, которая намного легче и дешевле сплошной медной обшивки, вполне пригодна для защиты чувствительного электрического оборудования от возмущающих внешних полей.
* О новых работах по этому вопросу и библиографию см. в статье С. J.Powell, J.B. Swann, Phys. Rev., 115, 869 (1959).
Глава 8
ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ
§1 .Электростатическая энергия зарядов. Однородный шар
§2.Энергия конденсатора. Силы, действующие на заряженные проводники
§З.Электростатическая энергия ионного кристалла
§4.Электростатическая энергия ядра
§5,Энергия в электростатическом поле
§6.Энергия точечного заряда
Повторить: гл. 4 (вып. 1) «Сохранение энергии»; гл. 13 и 14 (вып. 1) «Работа и потенциальная энергия»
§ 1. Электростатическая энергия зарядов. Однородный шар
Одно из самых интересных и полезных открытий в механике —это закон сохранения энергии. Зная формулы для кинетической и потенциальной энергий механической системы, мы способны обнаруживать связь между состояниями системы в два разных момента времени, не вникая в подробности того, что происходит между этими моментами. Мы хотим определить теперь энергию электростатических систем. В электричестве сохранение энергии окажется столь же полезным для обнаружения многих любопытных фактов.
Закон, по которому меняется энергия при электростатическом взаимодействии, очень прост; на самом деле мы его уже обсуждали. Пусть имеются заряды q1 и q2, разделенные промежутком r12. У этой системы есть какая-то энергия, потому что понадобилась какая-то работа, чтобы сблизить заряды. Мы подсчитывали работу, производимую при сближении двух зарядов с большого расстояния; она равна
(8.1)
Мы знаем из принципа наложения, что если зарядов много, то общая сила, действующая на любой из зарядов, равна сумме сил, действующих со стороны всех прочих зарядов. Отсюда следует, что полная энергия системы нескольких зарядов есть сумма членов, выражающих взаимодействие каждой пары зарядов по отдельности. Если qi и qj- — какие-то два из зарядов, а расстояние между ними rij (фиг. 8.1),
Фиг. 8.1. Электростатическая анергия системы частиц есть сумма электростатических энергий каждой пары.
то энергия именно этой пары равна
(8.2)
П олная электростатическая энергия U есть сумма энергий всевозможных пар зарядов:
(8.3)
Если распределение задается плотностью заряда , то сумму в (8.3) нужно, конечно, заменить интегралом.
Мы расскажем здесь об энергии с двух точек зрения. Первая — применение понятия энергии к электростатическим задачам; вторая — разные способы оценки величины энергии. Порой легче бывает подсчитать выполненную в каком-то случае работу, чем оценить величину суммы в (8.3) или величину соответствующего интеграла. Для образца подсчитаем энергию, необходимую для того, чтобы собрать из зарядов однородно заряженный шар. Энергия здесь есть не что иное, как работа, которая затрачивается на собирание зарядов из бесконечности.
Представьте, что мы сооружаем шар, наслаивая последовательно друг на друга сферические слои бесконечно малой толщины. На каждой стадии процесса мы собираем небольшое количество электричества и размещаем его тонким слоем от r до r+dr. Мы продолжаем процесс этот до тех пор, пока не доберемся до заданного радиуса а (фиг. 8.2). Если Qr -— это заряд шара в тот момент, когда шар доведен до радиуса r, то работа, требуемая для доставки на шар заряда dQ, равна
(8.4)
Фиг. 8.2. Энергию однородно заряженного шара можно рассчитать, вообразив, что его слепили, последовательно наслаивая друг на друга сферические слои.
Е сли плотность заряда внутри шара есть , то заряд Qr равен
Уравнение (8.4) превращается в
(8.5)
Полная энергия, требуемая на то, чтобы накопить полный шар зарядов, равна интегралу по dU от r=0 до r=а, т.е.
(8.6)
а если мы желаем выразить результат через полный заряд Q шара, то
(8.7)
Энергия пропорциональна квадрату полного заряда и обратно пропорциональна радиусу. Можно представить (8.7) и так: среднее значение (1/rij) по всем парам точек внутри шара равно 6/5а.